Title 4. Chương 2, 3, 4 GT lớp 12.pdf ✅

Trang 81 CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A. Lũy thừa – Hàm số lũy thừa. 1. Biến đổi lũy thừa. – Tính chất của lũy thừa: Cho a b, 0  và x y,  . Khi đó ta có: +) . x y x y a a a   và x x y y a a a   . +) . .   x x x a b a b  ; x x x a a b b        và   . y x x y a a  . – Lũy thừa với số mũ nguyên: * 1 0, : n n a n a a      . – Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (Đổi căn ra số mũ): 0, , , 2, : m m n m n a m n n a a n        . – Tính chất của căn bậc n. +) 2 2 * , , n n a a a n     . +) 2 1 2 1 * , , n n a a a n       . +) 2 2 2 * . . , , 0, n n n a b a b a b n     . +) 2 1 2 1 2 1 * . . , , , n n n a b a b a b n        . +)   * , 0, , m n m n a a a m n      . +) 2 * 2 2 , 0, 0, n n n a a a b n b b      . +) 2 1 * 2 1 2 1 , , 0, n n n a a a b n b b         . +) . * * , 0, , n m m n a a a m n      . +) Nếu p q n m  thì n m p q a a  , *     a m n p q 0; , ; , . 2. So sánh biểu thức lũy thừa. 1: 0 1: 0 0 : 0 x y x y m m m m a a a x y a a a x y a b m a b a b m                        3. Tập xác định của hàm số lũy thừa:         * XĐ khi 0 0 khi 0, 0 khi a f x a a y f x f x a n f x a                         4. Đạo hàm hàm số lũy thừa: 1 1 . . . a a a a y x y a x y u y a u u              5. Khảo sát hàm số lũy thừa. – Hàm số a y x  có tập xác định luôn chứa khoảng 0; với mọi a . , 0 a y x a   , 0 a y x a   Tập khảo sát D   0;  D   0;  Đạo hàm 1 . 0, 0 a y a x x       1 . 0, 0 a y a x x       Tính đơn điệu Hàm số , 0 a y x a   đồng biến trên D Hàm số , 0 a y x a   nghịch biến trên D Giới hạn 0 lim 0 a x x    ; lim a x x    0 lim a x x     ; lim 0 a x x   Đường tiệm cận Không có Ox y : 0  là tiệm cận ngang Oy x : 0  là tiệm cận đứng
Trang 82 Bảng biến thiên x 0  y   y  0 x 0  y   y  0 – Đồ thị hàm số a y x  B. Công thức logarit. Công thức logarit: Cho các số a b a , 0, 1   và m n,  . Ta có:  loga b a b       10 lg log log b b b    ln loge b b   log 1 0 a   log 1 a a   log n a a n   1 log log a m a b b m   log log n a a b n b   log log m n a a n b b m   log ( ) log log a a a bc b c    log log log a a a b b c c          1 log log a b b a  , b 1  log .log log a b a b c c  ,b 1  log log log a b a c c b  , b 1  log log log a b b b c a a b a c       ln 1 e   log10 lg10 1    2 2 1 log log n a a b b  * Bổ sung: Nếu b a có n chữ số thì log b n a  . C. Hàm số mũ, hàm số logarit. Dạng 1. Tìm tập xác định. – Hàm số mũ: +) Hàm số dạng x y a  có tập xác định là D  . +) Hàm số dạng f x  y a  xác định khi f x  xác định. – Hàm số logarit y f x  loga   với 0 1   a xác định khi f x   0 . Dạng 2. Đạo hàm. Hàm số mũ Đạo hàm Hàm số logarit Đạo hàm x y a  .ln x y a a   loga y x  1 ln y x a   u y a  .ln . u y a a u    loga y u  ln u y u a    x y e  x y e   y x  ln 1 y x   u y e  . u y e u    y u  ln u y u   
Trang 83 Dạng 3. Khảo sát hàm số mũ. – Tính đơn điệu của hàm số x y a  : +) Với a  1 hàm số x y a  đồng biến trên . +) Với 0 1   a hàm số x y a  nghịch biến trên . – Đồ thị hàm số mũ. +) Do đồ thị 0 1 0 1 1 1 x x x x y a a y b b y c c y d d                          +) Xét trên cùng nửa mặt phẳng bờ Oy , ta đứng trên cao bắn mũi tên từ trái qua phải:  Do trúng đồ thị x y a  trước nên a b  .  Do trúng đồ thị x y c  trước nên c d  . Do đó 0 1      b a d c Dạng 4. Khảo sát hàm số logarit. – Tính đơn điệu của hàm số loga y x  : +) Với a  1 hàm số loga y x  đồng biến trên 0;. +) Với 0 1   a hàm số loga y x  nghịch biến trên 0;. – Đồ thị hàm số logarit. +) Do đồ thị log 0 1 log 0 1 log 1 log 1 a b c d y x a y x b y x c y x d                          +) So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b a  . +) So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logd x trước: d c  . Do đó 0 1      a b c d . x y y = d x y = cx y = bx y = a x 1 O x y 1 y = logd x y = logc x y = logb x y = loga x O
Trang 84 D. Phương trình mũ, phương trình logarit. Dạng 1. Phương trình mũ. log 0 1; 0   x a b x b a b       a . Dạng 1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.ơ số – Nếu a a   0, 1 thì         f x g x a a f x g x    – Nếu a chứa ẩn thì         1 0 1 f x g x a a a f x g x a              . – Phương trình f x g x     a b      log log f x g x   a a a b   f x b g x   log . a   (logarit hóa). Dạng 1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ. – Loại 1:     0 f x PP P a   đặt   , 0 f x t a t   . – Loại 2:     2. 2.     . . . . 0 f x f x f x A a B a b C b    PP Chia hai vế cho 2.   , f x b rồi đặt   0 f x a t b         . – Loại 3:           3. 3. 2 2   . . . . 0 f x f x f x f x A a B a b B a b D b     PP Chia hai vế cho 3.   , f x b rồi đặt f x  a t b        . – Loại 4: f x f x     a b c   với ab. 1  PP đặt f x f x     1 t a b t    . – Loại 5:             . . . 0 f x g x f x g x f x g x a a a a b a a            PP đặt     f x g x u a v a      . Dạng 1.3. Phương pháp logarit hóa. – Loại 1: Phương trình:     0 1, 0 log f x a a b a b f x b           – Loại 2: Phương trình: +)         log log .log     f x g x f x f x a b a b f x g x b      a a a +)     log log .log .     f x g x b b b a b f x a g x    Dạng 1.4: Phương pháp hàm số, đánh giá. Thông thường ta sẽ vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau: – Nếu hàm số y f x    đơn điệu một chiều trên D thì f x   0 không quá một nghiệm trên D.  Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được 1 nghiệm 0 x x  của phương trình, rồi chỉ rõ hàm đơn điệu một chiều trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) và kết luận 0 x x  là nghiệm duy nhất. – Hàm số f t  đơn điệu một chiều trên khoảng ab;  và tồn tại u v a b ; ;   thì: +) f u f v u v        . +) Phương trình f t k k      const có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng ab; . +) Phương trình f t k k     const   có duy nhất nghiệm trên ab;  khi lim . lim 0     x a x b f t f t      .  Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t . Dạng 2. Phương trình logarit. Dạng 2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.ơ – Nếu 0, 1: log b a a a x b x a      . – Nếu a a f x g x f x g x      0, 1: log log a a        .