Title Chương 1_Bài 2_ _Lời giải_Phần 1.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST- PHIÊN BẢN 2025-2026 1 BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên tập D . - Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x = ( ) trên tập D nếu f x M ( ) £ với mọi x D Î và tồn tại 0 x D Î sao cho f x M  0  = . Kí hiệu max ( ) x D M f x Î = hoặc max ( ) D M f x = . - Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x = ( ) trên tập D nếu f x m ( ) 3 với mọi x D Î và tồn tại 0 x D Î sao cho f x m  0  = . Kí hiệu 0 min ( ) x m f x Î = hoặc min ( ) D m f x = . Chú ý - Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) (mà không nói "trên tập D ") thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của f x( ) trên tập xác định của hàm số. - Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D , ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D để kết luận. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y f x x = = - ( ) 1 . Lời giải Tập xác định của hàm số là [ 1;1] - . Cách 1. Sử dụng định nghĩa. Ta có: - 2 f x x ( ) 1 0 = - 3 ; dấu bằng xảy ra khi 2 1 0 - = x , tức là khi x = -1 hoặc x =1. Do đó [ 1;1] min ( ) ( 1) (1) 0 f x f f - = - = = . - 2 f x x ( ) 1 1 = - £ ; dấu bằng xảy ra khi 2 1 1 - = x , tức là khi x = 0 . Do đó [ 1;1] max ( ) (0) 1 f x f - = = . Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên. Với xÎ -( 1;1), ta có:   2 2 2 1 ; 0 0 2 1 1 x x y y x x x ¢ - ¢ ¢ = = - = Û = - - . Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [ 1;1] - :
BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST- PHIÊN BẢN 2025-2026 2 Từ bảng biến thiên, ta được: [ 1;1] [ 1;1] min ( ) ( 1) (1) 0;max ( ) (0) 1 f x f f f x f - - = - = = = = . Chú ý. Trong thực hành, ta cũng dùng các kí hiệu min , max D D y y để chỉ giá trị nhỏ nhât, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số y f x = ( ) trên tập D . Do đó, trong Ví dụ 1 ta có thể viết [ 1;1] [ 1;1] min ( 1) (1) 0;max (0) 1. y y y y y - - = - = = = = Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số 1 y x 2 x = - + trên khoảng (0; ) +¥ Lời giải Ta có: 2 1 y y x vì x 1 ; 0 1( 0) x ¢ ¢ = - = Û = > . Tính các giới hạn: 0 0 1 1 lim lim 2 ; lim lim 2 . x x x x y x y x x x ® ® + + ®+¥ ®+¥ æ ö æ ö = - + = +¥ = - + = +¥ ç ÷ ç ÷ è ø è ø Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; ) +¥ : Từ bảng biến thiên, ta được: (0; ) min (1) 0 y y +¥ ; hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (0; ) +¥ Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu. Lời giải Gọi x( cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện: 0 30 < BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST- PHIÊN BẢN 2025-2026 3 Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm. 2. CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Giả sử y f x = ( ) là hàm số liên tục trên [a ; b] và có đạo hàm trên ( ; ) a b , có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [a ; b] mà đạo hàm f x ¢( ) bằng 0. Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) trên đoạn [a ; b] : 1. Tìm các điểm 1 2 , , , ( ; ) n x x x a b 1⁄4 Î , tại đó f x ¢( ) bằng 0 hoặc không tồn tại. 2. Tính f x f x f x f a  1 2 , , , , ( )   1⁄4  n  và f b( ). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: [ ; ] [ ; ] max ( ); min ( ). a b a b M f x m f x = = Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 y x x = - + 4 3 trên đoạn [0 ; 4]. Lời giải Ta có:   3 2 y x x x x y x ¢ ¢ = - = - = Û = 4 8 4 2 ; 0 0 hoặc x = 2 (vì xÎ[0;4]; y y y (0) 3; (4) 195; ( 2) 1. = = = - Do đó: [0;4] [0;4] max (4) 195;min ( 2) 1 y y y y = = = = - . Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x x = + sin cos trên đoạn [0; 2 ] p . Lời giải Ta có: cos sin ; 0 cos sin 4 y x x y x x x p ¢ ¢ = - = Û = Û = hoặc 5 ( [0;2 ]) 4 x vì x p = Î p ; 5 (0) 1; (2 ) 1; 2; 2. 4 4 y y y y p p p æ ö æ ö = = = = - ç ÷ ç ÷ è ø è ø Do đó: [0;2 ] [0;2 ] 5 max 2;min 2 4 4 y y y y p p æ ö æ ö p p = = = = - ç ÷ ç ÷ è ø è ø . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên 1. Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Cho hàm số y f x = ( ) liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn [ 1;3] - như hình. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y f x = ( ) trên đoạn [ 1;3]. - Tìm giá trị của M?
BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST- PHIÊN BẢN 2025-2026 4 Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta có: M f = 0 . Ví dụ 2: Cho hàm số y f x = ( ) xác định và liên tục trên [ 2;3] - có bảng biến thiên như hình bên. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 2;3]. - Tính tổng M m+ ? Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 3 1. 2 M M m m ì = í Þ + = î = - Ví dụ 3: Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên trên đoạn [ 1; 4] - như hình dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1;4]. - Tính giá trị của M m+ ? Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 4 28. 24 M M m m ì = - í Þ - = - î = - Câu 4: Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn [ 1;3] - và có đồ thị như hình. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1;3]. - Giá trị của M m- bằng bao nhiêu? Lời giải