Title Đề Thi Olympic Toán Duyên Hải Bắc Bộ 2022-2023 (Khối 11) [Đáp Án].pdf ✅

Trang 3 Dễ thấy GBC và GAD đồng dạng nên (2) GC GB BC GD GA AD = = Theo giả thiết thì HL, HI lần lượt là phân giác trong của CHD AHB , nên ta lại có , (3) LC HC IB HB LD HD IA HA = = 0,5 Từ (1), (2), (3) ta được GC LC GD LD = và GB IB GA IA = . Suy ra GL GI , tương ứng là phân giác trong các góc CGD và AGB . Mà hai góc này là hai góc đối đỉnh nên G, I, L thẳng hàng. 0,5 b) Ta sẽ chứng minh KJ và MN, ' ' M N đồng quy tại G. Xét hai tam giác AJI và CKL ta có CK cắt AJ tại F, IJ cắt KL tại H, IA cắt LC tại E. Mà H, F, E thẳng hàng nên theo định lý Desargues thì AC, JK, IL đồng quy tại G. 0,5 0,5 Xét hai tam giác FAC và HBD có FH, AB, CD đồng quy tại E . Mà FA cắt HB tại M, AC cắt BD tại G, FC cắt HD tại N nên theo định lý Desargues thì M, N, G thẳng hàng. Lại xét hai tam giác BHD và CEA, có BC HE DA , , đồng quy tại F ; BH cắt CE tại M ', BD cắt CA tại G, HD cắt AE tại N ' nên ta cũng có M N G ', ', thẳng hàng. 0,5 0,5 Câu 4 (4,0 điểm). Cho hai số nguyên dương ab, thỏa mãn tính chất: với mỗi số nguyên dương n , nếu 2 na na + +1 là lập phương đúng của một số nguyên dương thì nb +1 cũng là lập phương đúng của một số nguyên dương. Chứng minh rằng 4 1 b + là một số chính phương. (Nguồn: THPT Chuyên Chu Văn An – Hà Nội) Điểm