Title 2. PP Biểu thức tọa độ tích vô hướng-GV.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Trang 1/9 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. Cho hai vectơ a x y 1 1 ( ; ) và b x y 2 2 ( ; ) . Khi đó 1) a b x x y y 1 2 1 2 . 2) a x y a x y 2 2 ( ; ) | | 3) a b x x y y a b a b x y x y 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . cos( , ) Hệ quả: + a b x x y y 1 2 1 2 0 + Nếu A x y A A ( ; ) và B x y B B ( ; ) thì AB x x y y B A B A 2 2 ( ) ( ) B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1-Dạng 1: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Phương pháp: -Dùng định nghĩa tích vô hướng -Dùng biểu thức tọa độ của tích vô hướng -Các tính chất hình học và các hệ thức lượng trong tam giác Ví dụ 1: Cho ba véc tơ a = −( 1;1) ; b = (2; 0) , c = (1; ) . a) Tìm a b b c a b c . ; . ; ( 2 ) − b) Góc giữa hai véc tơ a , b c) Tìm giữa hai véc tơ a và b c + d) Tìm tọa độ x biết xa. 5 = và xc. 2 = − Lời giải a)Ta có: . ( 1).2 1.0 2 . 2.1 0.3 2 ( 2 ) . 2 . 2 (( 1).1 1.3) 4. a b b c a b c a b a c = − + = − = + = − = − = − − − + = − b) Góc giữa hai véctơ a , b được tính bằng công thức: ( ) ( ) 2 2 2 2 1.2 1.0 cos ; 1 1 . 2 0 a b − + = − + + 2 2 2. 4 2 = − = −  =  (a b, 135 ) . c) b c + = (3;3) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 1.3 1.3 cos , 0 ; 90 . 1 1 . 3 3 a b c a b c − + + = =  + = − + + d) Giả sử x x y = ( ; ) 17 . 5 5 4 . 2 3 2 3 4 x x a x y x c x y y  = −  = − + =          = −  + = −   = 
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Trang 2/9 Vậy 17 3 ; 4 4 x   = −    Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a và b trong mỗi trường hợp sau: a) a b = − = ( 3;1), (2;6) b) a b = = (3;1), (2;4) c) a b = − = − ( 2;1), (2; 2). Lời giải Vận dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ( ) . , . a b cos a b a b = a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3.2 1.6 , 0 , 90 3 1 . 2 6 o cos a b a b − + = =  = − + + b) ( ) ( ) 2 2 2 2 3.2 1.4 10 1 , , 45 3 1 . 2 4 10 2 2 o cos a b a b + = = =  = + + c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 .2 1. 2 3 2 , 1 , 180 3 2 2 1 . 2 2 o cos a b a b − + − − = = = −  = − + + − Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(2;4), B(−3;1) , C(3; 1− ) . a) Tìm AB AC . b) Gọi G là trọng tâm ABC . Tìm AG BC. c) Tìm góc A . d) Tìm tọa độ A' là hình chiếu của A trên BC Lời giải a) Ta có: AB AC AB AC = − − = −  = − + − − = ( 5; 3), (1; 5) . ( 5).1 ( 3).( 5) 10. b) Ta có 2 4 ( ; ) 3 3 G 4 8 4 8 8 ; , (6; 2) . .6 .( 2) . 3 3 3 3 3 AG BC AG BC       = − − = −  = − + − − = −             c) Ta có 2 2 2 2 2 2 ( 5) ( 3) 34 1 ( 5) 26 . 6 ( 2) 2 10 . AB AC BC = − + − = = + − = = + − = 2 2 2 26 34 40 0 cos 70 20'. 2 . 2 26 34 AC AB BC A A AC AB + − + − = =  d) Giả sử A x y '( ; ) Ta có AA BC AA BC ' '. 0 ⊥  = và BA BC ', cùng phương AA x y BC BA x y ' ( 2; 4), (6; 2), ' ( 3; 1) = − − = − = + + AA BC x y x y '. 0 6( 2) ( 2)( 4) 0 6 2 4 0 (1) =  − + − − =  − − = BA BC ', cùng phương suy ra 3 1 2 6 0 (2) 6 2 x y x y + + =  − − = −
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Trang 3/9 Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được 3 5 1 5 x y  =    = −  Vậy 3 1 '( ; ) 5 5 A − Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A( 4;1),B(2;4),C(2; 2). − − a) Tìm AB BC. b) Giải tam giác ABC c) Tìm diện tích ta giác ABC d) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC Lời giải a)Ta có AB BC AB BC = = −  = + − = − (6;3), (0; 6) . 6.0 3.( 6) 18. ( ) ( ) 2 2 AB = + + − = = 2 4 4 1 45 3 5 . ( ) ( ) 2 2 AC = + + − − = 2 4 2 1 45 ( ) ( ) 2 2 BC = − + − − = 2 2 2 4 6 2 2 2 45 45 36 3 0 53 2. . 5 2. 45. 45 AB AC BC cosA A AB AC + − + − = = =  Ta có AB AC = nên ABC cân tại A. Do đó 0 0 180 53 0 63,5 . 2 B C − = = Ta có 45 45 6 45 3 2. p + + = = + Diện tích tam giác ABC là S p p p p = − − − = ( 45)( 45)( 6) 18 (đvdt) d) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. Lời giải Giả sử H x y ( ; ) ta có AH x y BC BH x y CA = + − = = − − = − ( 4; 1 , 0; , 2; 4 , 6; 3 ) ( −6) ( ) ( ) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 0 4 .0 1 . 6 0 13 2 ; 0 6 8 3 4 0 2 1 1 AH BC x y x H BH CA x y y      =  + + − − = =             = − − + − =       = . Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(2; 4),B(1;1) Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B Lời giải Giả sử C x y ( ; ) . Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên   =  =  . 0 ( ) BC BA I BC BA Mà BA BC x y = = − − (1; , 1; 1 3) ( ) 2 2 2 2 2 4 1( 1) 3( 1) 0 4 3 0 ( ) 1 3 ( 1) ( 1) 10 20 0 2 2 x x y x y y I x y y y x y  =     − + − = = −  =       + = − + − − =     = −   =  Vậy có hai điểm C thỏa yêu cầu bài toán là C(4; 0) và C(−2; 2)
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Trang 4/9 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;2),B( 4;3). − Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành. a) Tính AM BM. theo t. b) Tìm t để 0 AMB = 90 . Lời giải a) Ta có ( ) ( ) ( )( ) 2 AM t BM t AM BM t t t t = − − = + −  = − + + = + + 1; 2 , 4; 3 . 1 4 2.3 3 2 b) Để AMB 90 = thì 2 1 . 0 3 2 0 2 t AM BM AM BM t t t  = − ⊥  =  + + =    = − Vậy với 1 2 t t  = −   = − thì AMB 90 = Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có A B C (1;2 , 2;6 , 9;8 ) (− ) ( ). a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A . b) Xác định tọa độ điểm H thuộc BC sao cho AH ngắn nhất. Lời giải a) Ta có AB AC AB AC (−  = − + = 3;4 , 8;6 . 3.8 4.6 0 ) ( ) Do đó AB AC ⊥ hay tam giác ABC vuông tại A . b) AH khi H là hình chiếu của A lên BC Gọi H x y ( ; ) là hình chiếu của A lên BC. Ta có AH x y BH x y BC ( − − + − 1; 2 , 2; 6 , 11;2 ) ( ) ( ) AH BC AH BC x y ⊥  =  − + − = . 0 11 1 2 2 0 ( ) ( ) Hay 11 2 15 0 x y + − = (1) Mặt khác BH BC , cùng phương nên 2 6 2 11 70 0 11 2 x y x y + − =  − + = (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 32 , 5 5 x y = = Vậy hình chiếu của A lên BC là 1 32 ; 5 5 H       . Ví dụ 8:Cho tam giác ABC có A B C 1 2 2 6 9 8 ; , ; , ; . a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tính góc B của tam giác ABC c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC Lời giải: a) Ta có AB AC AB AC 3 4 8 6 3 8 4 6 0 ; , ; . . . Do đó AB AC hay tam giác ABC vuông tại A. b) Ta có BC BA 11 2 3 4 ; , ; Suy ra . . cos cos , B BC BA 2 2 2 2 11 3 2 4 1 11 2 3 4 5 c) Gọi H x y; là hình chiếu của A lên BC. Ta có AH x y BH x y BC 1 2 2 6 11 2 ; , ; , ; AH BC AH BC x y . 0 11 1 2 2 0 Hay 11 2 15 0 x y (1)