Title SOLUCIONARIO 2DO PARCIAL 2018.pdf ✅

PROBLEMAS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ROGER ULURI YANA RESOLUCIÓN SEGUNDO EXAMÉN PARCIAL – PRQ-501 PROBLEMA No1 (50%): Se pretende impulsar crudo a largas distancias a través de una tubería. El problema es que, al tener una elevada viscosidad, el caudal es bastante reducido. Una posible solución es lubricar la tubería con una capa de un líquido inmiscible, de densidad similar, pero de viscosidad menor, que rodee al crudo impidiendo el contacto con la pared de la tubería. Se considera una tubería circular de radio R y longitud L, cuyo núcleo de radio Rc , está ocupado por el crudo de viscosidad μc . Se decide utilizar un fluido lubricante de viscosidad μL . Dada una diferencia de presiones ∆p = p0 − pL entre los extremos de la tubería, determinar mediante un balance microscópico de cantidad de movimiento en la dirección z y analizando de forma detallada todos los componentes del tensor φij. a) (30%) La expresión analítica de los perfiles de velocidad de ambos fluidos: crudo v c z = v c z(r) y lubricante v L z = v L z(r) , respecto a los ejes indicados en la figura. b) (10%) Los caudales de crudo y lubricante impulsados por la tubería. c) (10%) El radio del núcleo de crudo Rc que maximiza el caudal de crudo impulsado. Determinar: a) v c z = v c z(r) =? ? ; v L z = v L z(r) =? ? b) Q̇c =? ? ; Q̇L =? ? c) Rc crítico =? ? ; Q̇max c =? ? Consideraciones del sistema: ✓ Transferencia de cantidad de movimiento en la dirección z, en estado estacionario (Para el crudo y el lubricante). ✓ ρL , μL , ρc , μc , T = ctte, fluidos newtonianos, régimen laminar y fluidos incompresibles. ✓ v c z = v c z(r,θ,z,t) = v c z(r) (Modelo de gradiente máxima en estado estacionario ), v c θ = 0 , v c r = 0 L z r Rc R z = 0 v L z = v L z(r) v c z = v c z(r) Lubricante ρL , μL Crudo ρc , μc z = L p0 pL

PROBLEMAS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ROGER ULURI YANA i) Realizamos un balance microscópico de cantidad de movimiento en la dirección z, en un elemento diferencial de volumen ∆V (Para el crudo y el lubricante): [E] − [S] + [FG] = [A] → [E] − [S] + [FG] = 0 ; Ao = πr 2 → ∆Ao = 2πr∆r 2πrL[m2 ]∙ φrz [ N m2 ]| r + 2πr∆r[m2 ] ∙ φzz [ N m2 ]| z=0 − {2πrLφrz|r+Δr + 2πr∆rφzz|z=L } + Ẇ z = 0 Ẇ z = mgz = ρ∆Vgz ; Vcilindro = πr 2L → ∆V = 2πr∆rL 2πrLφrz|r + 2πr∆rφzz|z=0 − {2πrLφrz|r+Δr + 2πr∆rφzz|z=L } + ρ2πr∆rLgz = 0 −L[rφrz|r+Δr − rφrz|r ] − r∆r[φzz|z=L − φzz|z=0 ] + ρr∆rLgz = 0 // . ( 1 r∆rL) − 1 r lim Δr→0 [ (rφrz)|r+Δr − (rφrz)|r Δr ] − 1 L [φzz|z=L − φzz|z=0 ] + ρgz = 0 φzz|z=0 = P|z=0 + ρvzvz |z=0 ; φzz|z=L = P|z=L + ρvzvz |z=L P|z=0 = p|z=0 + ρgzz|z=0 = p0 ; P|z=L = p|z=L + ρgzz|z=L = pL + ρgzL φzz|z=L − φzz|z=0 = pL + ρgzL − p0 − 1 r ∂ ∂r (rφrz) − 1 L (pL + ρgzL − p0 ) + ρgz = 0 → − 1 r ∂ ∂r (rφrz) − 1 L (pL − p0 ) = 0 φzz|z=0 φzz|z=L φθz|θ=0 φθz|θ=2π φrz|r φrz|r+Δr L z = 0 z = L Δr
PROBLEMAS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ROGER ULURI YANA − 1 r ∂ ∂r (rτrz) − 1 L (pL − p0 ) = 0 Ecuación diferencial para el CRUDO: − 1 r ∂ ∂r (rτrz c ) − 1 L (pL − p0 ) = 0 ... ... ... ... ... (1) Condiciones límite para el crudo: C.L.1: r = 0 ; v c z = v c z,max → τrz c = 0 En el proceso de transferencia de cantidad de movimiento se cumple en la interfase (superficie de contacto entre ambos fluidos), la velocidad y el esfuerzo cortante de ambos fluidos es igual. C.L.2: r = Rc ; v c z = v L z ; τrz c = τrz L Ecuación diferencial para el LUBRICANTE: − 1 r ∂ ∂r (rτrz L ) − 1 L (pL − p0 ) = 0 ... ... ... ... ... (2) Condiciones límite para el lubricante: C.L.3: r = Rc ; v c z = v L z ; τrz c = τrz L C.L.4: r = R ; v L z = 0 → τrz L = τrz,max L Resolvemos la ecuación diferencial (1): − 1 r d dr (rτrz c ) − 1 L (pL − p0 ) = 0 → ∫ d(rτrz c ) = − ∫ (pL − p0 ) L rd r + C1 rτrz c = − (pL − p0 ) 2L r 2 + C1 C.L.1: r = 0 ; τrz c = 0 → 0 ∙ 0 = − (pL−p0) 2L 0 2 + C1 → C1 = 0