Title Chuyên đề 14. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

CHƯƠNG Chuyên đề 14. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN Kiến thức cần nhớ 1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Trong hình bên thì:  BEC có đỉnh E nằm bên trong đường tròn (O) gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Định lí: Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. 2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Trong hình (a,b,c) thì:  BEC gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn. Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: MPNQ . Giải Tìm cách giải. Để chứng minh MPNQ ta gọi I là giao điểm của MP và NQ và cần chứng minh  90MIQ . Nhận thấy  MIQ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, do vậy ta cần biểu diễn góc  MIQ theo các cung của đường tròn và biến đổi các cung ấy. Trình bày lời giải Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Ta có:  1 2MIQsñMQsñNP  11. 22sñABsñADsñBCsñCD 1 .36090 4 . Vậy MPNQ . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC ACAB nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D và E. Giả sử DEAA . Hãy tính 22ABAC theo bán kính R của đường tròn tâm O. Giải Tìm cách giải. Khai thác giả thiết AD và AE là các phân giác trong và ngoài góc A, DEAA suy ra được ADE là tam giác vuông cân. Măt khác từ kết luận, ta liên tưởng tới kẻ thêm đường kính để tạo ra R. Mặt khác từ AD45C , là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, nên gợi ý cho ta chỉ kẻ đường kính từ B hoặc từ A.

Suy ra  DAEAFD . Nhận xét. Ngoài ra, bạn cũng có thể chứng minh trực tiếp được như sau:  90 22 sñDBMsñBM DAE  (góc nội tiếp).  90 22 sñADsñBMsñBM AFD  (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn). b) Ta có:  1145DA và  1EADF (câu a) nên DAEADF∼ (g.g) 2 .DEAD AFDEAD ADAF . Mặt khác AEFD là tứ giác có hai đường chéo AF, DE vuông góc với nhau. Do đó 211 . 22AEFDSAFDEAD không đổi. B. Bài tập vận dụng 14.1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đương kính AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E. Chứng minh O, N, O’ thẳng hàng. 14.2. Cho các điểm 121920,,....,,AAAA được sắp xếp theo thứ tự đó trên cùn một đường tròn (O). Chúng chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau. Chứng minh rằng dây 18AA vuông góc với dây 316AA . 14.3. Cho ABC cân tại B. Qua B kẻ đường thẳng xy song song với AC. Gọi O là một điểm trên xy. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AC ở D, cắt các cạnh AB và BC ở E và F. Chứng minh rằng số đo cung  EF không đổi khi O di chuyển trên xy. 14.4. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một cát tuyến qua M, cắt (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). a) Chứng minh ..ACDBADCB b) Tia phân giác góc CAD cắt CD tại I. Chứng minh BI là tia phân giác góc CBD. (Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2007- 2008) 14.5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Biết đường tròn (K) ngoại tiếp DIA cắt các cạnh AB, CD của tứ giác lần lượt tại E và E ;FEAD . Đường thẳng EF cắt AC, BD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh rằng  EDAMAI . b) Chứng minh KIBC . 14.6. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn ;OR biết rằng 90BOC . Vẽ đường tròn tâm I đường kính BC, cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng: MNR . 14.7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Biết rằng  2BACBMC . Tính số đo góc  BAC . 14.8. Cho đường tròn ;OR có dây 3ABR ; Trên cung lớn AB lấy dây DCR (C thuộc cung BD). Chứng minh rằng DACB . 14.9. Từ điểm A ở bên ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là tia phân giác góc CBD. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 14.1. Xét (O’) có:  2 sñADsñCM AEB  (Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn).