Title ELECTROMAGNÉTISME-S4 TD FSR.pdf ✅

FSR RABAT ELECTROMAGNÉTISME-S4 TD CORRIGES 2019 2020 COURS EN LIGNE https://sites.google.com/site/saborpcmath/ PAR WHATSAPP :06-02-49-49-25 COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI CPGE ENSA,M FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire PHYSIQUE : MATH : INFORMATIQUE : CHIMIE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74
. Université Mohammed V de Rabat Année universitaire : 2019-2020 Faculté des Sciences–Rabat SMP-S4-Électricité 3 Série 1: Électromagnétisme dans le vide Exercice 1 Soit f(x, y, z, t) un champ scalaire et soit −→A un champ vectoriel, définis dans un espace euclidien muni du repère cartésien R(O, −→u x, −→u y, −→u z). 1. Donner les expressions différentielles, en coordonnées cartésiennes, de ∆f, −−→gradf, div−→A, −→rot −→A. 2. Établir les relations suivantes −→rot( −−→gradf) = −→0 −→rot( −→rot −→A) = −−→grad(div−→A) − ∆ −→A. Exercice 2 Considérons deux points M(x, y, z) et Q(x 0 , y0 , z0 ) à trois dimensions. 1. Calculer −→∇M 1 r et −→∇Q 1 r , où r = k −−→QMk. 2. Conclure. Exercice 3 On considère un repère cartésien R(O, −→u x, −→u y, −→u z), orthonormé. Le plan P défini par x = 0 possède une distribution surfacique de charges, à variation temporelle sinusoïdale de basse fréquence. Sa densité est σ(t) = σ0 cos(wt) où σ0 et w sont des quantités physiques constantes. 1. En utilisant les propriétés de symétrie, montrer que la charge électrique portée par le plan P ne produit pas de champ magnétique. 2. Montrer que le champ électrique −→E créé par P vérifie −→rot −→E = −→0 . 1/10
3. Prouver que −→E peut s’écrire sous la forme −→E = E(x, t) −→u x. 4. Établir l’expression de −→E pour x > 0 et pour x < 0. 5. Trouver le potentiel scalaire associé, V . On suppose que V (x = 0, t) = 0. Exercice 4 Soit R(O, −→u x, −→u y, −→u z) un repère cartésien orthonormé et direct. Dans ce repère, le plan z = 0 possède un courant électrique surfacique de densité −→js (t) = j0 sin(wt) −→u y, où w et j0 sont des constantes strictement positives. La densité −→js produit, dans l’espace, un champ magnétique non nul. 1. Montrer que le champ magnétique créé par −→j s peut s’écrire sous la forme générale suivante −→B = B(z, t) −→u x. Puis, vérifier la relation B(−z, t) = −B(z, t). 2. Déterminer le champ magnétique pour z > 0 et pour z < 0. 2/10
Série 1: Corrections des exercices Exercice 1 1. Soit f(x, y, z, t) un champ scalaire et soit −→A un champ vectoriel. (a) Le Laplacien de f est ∆f = ∇~ 2 f = ∂ 2f ∂x2 + ∂ 2f ∂y2 + ∂ 2f ∂z2 = div( −−→gradf). (b) Le gradient de f s’écrit −−→gradf = ∇ · ~ f = ∂f ∂x~ux + ∂f ∂y ~uy + ∂f ∂z ~uz. (c) La divergence de −→A est divA~ = ∇ · ~ A~ =   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z   ·   Ax Ay Az   = ∂Ax ∂x + ∂Ay ∂y + ∂Az ∂z . (d) Le rotationnel de −→A est −→rotA~ = ∇∧~ A~ =   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z   ∧   Ax Ay Az   = ∂Az ∂y − ∂Ay ∂z ~ux+ ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x −→u y+ ∂Ay ∂x − ∂Ax ∂y −→u z. Remarque On pose −→rot −→A = Ayz −→u x + Azx −→u y + Axy −→u z où Aab = ∂Ab ∂a − ∂Aa ∂b , a, b = x, y, z. 2. Identités remarquables (a) En posant fx = ∂f ∂x , on a −→rot( −−→gradf) = −→rot(fx −→u x + fy −→u y + fx −→u z) = ∂ 2f ∂y∂z − ∂ 2f ∂z∂y −→u x + ∂ 2f ∂z∂x − ∂ 2f ∂x∂z −→u y + ∂ 2f ∂x∂y − ∂ 2f ∂y∂x −→u z = −→0 . 3/10