Title BÀI 9. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

Bài 2: Cho đường tròn O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC với đường tròn O . Tia phân giác của góc BAC cắt BC và O lần lượt tại D và E . Chứng minh: a. MAMD b. ..ADAEACAB  Định hướng lời giải: Phần a) bài toán yêu cầu chứng minh MAMD như vậy MAD cân tại M . Tức là ta cần chứng minh  MADMDA . Quan sát trên hình vẽ lại thấy góc  MAD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến MA và dây cung AE nên ta có 1 2MADsñAE . Mặt khác, lại thấy góc  MDA là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn 2 cung  AB và  1. 2CEMDAsñABsñCE Do đó  MADMDAsñAEsñABsñCE  sñABsñBEsñABsñCE đúng vì ta có AE là phân giác của  BAC nên E là trung điểm cung  BC . Phần b) yêu cầu chứng minh ..ADAEACAB nên ta sẽ nghĩ ngay đến việc đưa về hai tỉ số bằng nhau AEAB ACAD và sẽ chứng minh tam giác AEBACD∽ . Dễ dàng chứng minh được vì ta đã có  BAECAD và 1 2AEBsñABACD Lời giải: a. Do MA là tiếp tuyến tại A của O nên ta có: 111 222MAEsñAEsñABsñBE (1) Lại có góc  ADB là góc có đỉnh bên trong đường tròn 11 22ADBsñABsñCE (2) Do AE là phân giác của  BAC  BECEsñBEsñCE (3) Từ (1), (2) và (3), suy ra:  MAEBDA Hay  MADMDAMAD cân tại MMAMD b. Ta có 1 2AEBsñABACD xét AEB và ACD có  ;AEBACDBAECAD .AEABAEBACDgg ACAD∽ ..AEADACAB  Nhận xét: Nếu ta gọi K là điểm trên đường thẳng BC sao cho M là trung điểm của .DK Khi đó ta có MAMKMDADK vuông tại A AKAD mà AD là phân giác trong của  BACMK là phân giác ngoài của  BAC . Như vậy ta sẽ có kết quả sau: Cho ABC nội tiếp đường tròn O . Gọi ,ADAE lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của  ,BACDEBC . Gọi M là trung điểm của DE . Khi đó MA là tiếp tuyến của đường tròn O tại .A
Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn O . Các tia phân giác trong của góc ,AB cắt nhau tại I và cắt đường tròn O lần lượt tại ,DE . Chứng minh: a. Tam giác BID là tam giác cân b. DE là đường trung trực của IC  Định hướng lời giải: Phần a) bài toán yêu cầu chứng minh BID cân và từ hình vẽ ta thấy BID là tam giác cân tại I . Ta thấy rằng việc chứng minh 2 cạnh DBDI là khó khăn hơn việc chứng minh 2 góc  DBIBID . Dễ thấy  DBI là góc nội tiếp chắn cung  DE nên 1 2DBIsñDE .Mặt khác,  BID là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn 2 cung  BD và  AE nên  1 2BIDsñBDsñAE . Do đó  DBIBID  sñDEsñBDsñAE  sñDCsñCEsñBDsñAE (*). Ta lại có ,ADBE là các phân giác trong của góc  BAC và  ABC nên ,DE lần lượt là trung điểm cung  ,BCCD   sñBDsñCD và  sñCEsñAE . Từ đó suy ra (*) đúng. Phần b) yêu cầu chứng minh DE là đường trung trực của IC tức là cần chứng minh DIDC và EIEC hay DIC cân tại D và EIC cân tại E . Chứng minh điều này hoàn toàn tương tự như phần a). Lời giải: a. Ta có: 111 222DBIDBEsñDEsñDCsñCE (1) Do  BID là góc có đỉnh bên trong đường tròn O 11 22BIDsñBDsñAE (2) Lại có ,ADBE là các tia phân giác của góc  ,AB ,DE lần lượt là các trung điểm của cung ,BCCA  ,sñBDsñCDsñCEsñAE (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra:  .DBIBID BID cân tại D b. Hoàn toàn tương tự phần a) ta có các tam giác CID và CIE lần lượt cân tại D và E ,DIDCEIECDE là đường trung trực của IC  Nhận xét: - Từ kết quả phần b) của bài toán này sẽ ta sẽ thu được một kết quả khác như sau: Cho ABC nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường tròn I . Gọi ,,DEF lần lượt là các trung điểm của cung ,,BCCAAB không chứa ,,ABC . Khi đó I là trực tâm của .DEF - Ngoài ta kết quả của phần a) cũng là 1 bước làm quan trọng trong bài toán tính độ dài đoạn OI theo bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC . Bài toán được phát biểu như sau: Cho ABC nội tiếp đường tròn ;OR và ngoại tiếp đường tròn ,Ir . Khi đó 222.OIRRr Chứng minh: Gọi D là trung điểm cung  BC không chứa A Kéo dài OI cắt đường tròn O tại ,MN Xét AIN và MID 1 ; 2AINMIDDMIsñDNIAN .MIAIMIDAINgg DINI∽
..IMINIDIA Theo kết quả phần a) bài toán trên ta có BID cân tại D ...DBDIIMINIDIABDIA (1) Kéo dài BO cắt O tại E BE là đường kính của 90OBDE Lại có  1 22 BAC BEDsñBEBAD Trong BDE vuông tại D có:  .sin.sin2.sin 22 BACBAC BDBEBEDBER Thay vào (1) suy ra:  .2..sin 2 BAC IMINRAI (2) Từ I kẻ IFABFABIFr Trong AIF vuông tại F có:  sinsin 22 IFr AI BACBAC  Thay vào (2), suy ra: .2IMINRr 222r2ROIROIROIRRr đpcm Bài 4: Trên đường tròn ;OR vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau ,,,ABBCCD mỗi dây có độ dài nhỏ hơn R . Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại ,I các tiếp tuyến của đường tròn tại ,BD cắt nhau tại .K a. Chứng minh  BICBKD b. Chứng minh BC là tia phân giác của  KBD  Định hướng lời giải: Phần a) bài toán yêu cầu chứng minh  BICBKD . Ta thấy ngay các góc  BIC và  BKD đều là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn O nên ta có  1 2BICsñAmDsñBC và  1 2BKDsñBADsñBCD . Ta lại có  sñBADsñAmDsñAB và  sñBCDsñBCsñCD  111 222BKDsñAmDsñABsñBCsñCDsñAmDsñBC (vì giả thiết cho  ABBCCD ). Đến đây ta đã chứng minh được  BICBKD . Chuyển sang phần b) bài toán yêu cầu chứng minh BC là tia phân giác của  KBD tức là ta cần chứng minh  KBCCBD . Điều này chứng minh là khá dễ dàng vì ta thấy