Title 2. PP Hoán vi-Chỉnh hợp-Tổ hợp-GV.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ:ĐẠI SỐ TỔ HỢP Bài 2: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1 . HOÁN VỊ a) Định nghĩa: Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là số tự nhiên, 1n ). b) Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là !(1)(2)...1.nPnnnn c) Ví dụ: Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5 ? Lời giải Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5 là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy số các số tự nhiên là 55!120P số Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách: a) Vào 5 ghế xếp thành một dãy. b. Vào 5 ghế xung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này. Lời giải a. Mỗi một cách xếp là một hoán vị của 5 phần tử . Do đó số cách xếp 5 hành khách vào 5 ghế xếp thành một dãy có 55!120P cách. b. Vì bàn tròn không phân biệt đầu cuối nên để xếp 5 người ngồi quanh một bàn tròn ta cố định 1 người và xếp 4 người còn lại quanh người đã cố định. Vậy có 44!24P cách xếp Chú ý: + Có !n cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy. + Có 1!n cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt giữa các ghế. Ví dụ 3: Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế a) Có bao nhiêu cách sắp xếp? b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách sắp xếp?
Lời giải a) Mỗi cách sắp xếp 5 bạn học sinh vào 5 chiếc ghế là một hoán vị của 5 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp 5 bạn học sinh ngồi vào 5 cái ghế là hoán vị là:               55!120P  (cách) b) Khi bạn Nga nhất định ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì số cách sắp xếp là số cách sắp xếp 4 bạn còn lại vào 4 chiếc ghế, mỗi cách như vậy là một hoán vị của 4 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp là:    44!24P  (cách) Ví dụ 4: Một họa sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh? Lời giải Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy số cách sắp xếp các bức tranh là: 10!3628800 (cách). Ví dụ 5:Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Lời giải Gọi 12345Aaaaaa= với 1a0¹ và 12345a, a, a, a, a phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số 1a0¹ nên có 4 cách chọn a 1 . + Bước 2: xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số. Ví dụ 6:Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào hai dãy ghế trên, có bao nhiêu cách, nếu : a . Nam và nữ được xếp tùy ý. b. Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế. Lời giải a . Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế một cách tùy ý là một hoán vị của 10 người. Vậy có 10!3628800 cách xếp. b. Chọn 1 dãy để xếp nam ngồi vào có 2 cách; xếp 5 nam vào dãy ghế đã chọn có 5! cách ; xếp 5 nữ vào dãy ghế còn lại có 5! cách. Vậy có tất cả là 2.5!.5! cách xếp thỏa điều kiện bài toán. Ví dụ 7:Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho : a . Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau ? b. Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau ? Lời giải a .
Trường hợp 1: Xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí chẵn có 5! cách, sau đó xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách  có 5!.5! cách. Trường hợp 2: Xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí lẻ có 5! cách, sau đó xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách  có 5!.5! cách. Vậy tất cả có 2.5!.5!28800 cách. b. Xem 5 nam là 1 tổ và 5 nữ là một tổ, ta có 2 tổ. Xếp 2 tổ ngồi vào bàn ta có 2! cách. Đổi chỗ 5 nam cho nhau có 5! cách, đổi chỗ 5 nữ cho nhau có 5! cách. Vậy ta có 2!.5!.5!28800 cách. Ví dụ 8:Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12 , có 5 học sinh giỏi khối 11 , có 6 học sinh giỏi khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu: a). Các học sinh được xếp bất kì. b). Các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau. Lời giải a). Mỗi cách sắp xếp 15 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 15 phần tử. Vậy số cách xếp 15 học sinh thành một hàng ngang là               1515!P  (cách) b). Bước 1: Xếp các khối có 3! cách xếp. Bước 2: Xếp các bạn trong khối 12 có 4! cách. Bước 3: Xếp các bạn trong khối 11 có 5! cách. Bước 4: Xếp các bạn trong khối 10 có 6! cách. Theo quy tắc nhân có 3!.4!.5!.6!12441600 cách xếp thỏa yêu cầu. Ví dụ 11:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, biết tổng của 3 chữ số này bằng 18? Lời giải Gọi số cần tìm ,0nabca . Từ tập 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A ta có những tập con của A gồm 3 phần tử sao cho tổng của chúng bằng 18 là 9,8,1;9,6,3;9;5;4;8;7;3;8;6;4;7;6;5;2;7;9 . Vậy có 7 tập con có 3 phần tử thuộc A sao cho tổng của 3 phần tử này bằng 18. Hoán vị 3 phần tử trong 1 tập con này ta được một số cần tìm. Suy ra có tất cả 3!.742 số thỏa yêu cầu. d) Trắc nghiệm: Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh ngồi vào một hàng có 5 ghế? A. 5 . B. 120 . C. 24 . D. 720 . Lời giải Chọn B Số cách sắp xếp 5 bạn học sinh ngồi vào một hàng 5 ghế là 55!120P Câu 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào hàng ngang gồm sáu ghế. A. 36 . B. 720 . C. 6 . D. 12 . Lời giải Số cách sắp xếp là: 66!720P . Câu 3 Có bao nhiêu cách xếp 7 người ngồi vào 7 chiếc ghế kê thành một hàng ngang. A. 5400. B. 4050. C. 5040. D. 4005.
Lời giải Chọn C Xếp 7 người thành một hàng ngang có 7!5040 (cách). Câu 4 Có 3 tem thư khác nhau và có 3 bì thư cũng khác nhâu. Số cách dán 3 tem thư lên 3 bì thư (mỗi bì một tem) là A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. Lời giải Chọn D Số cách dán 3 tem thư lên 3 bì thư (mỗi bì một tem) là 3!6 (cách). Câu 6. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? A. 120. B. 25. C. 15. D. 10. Lời giải Chọn A Mỗi cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy số cách sắp xếp là 5!120 cách. 2 . CHỈNH HỢP a) Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với , kn là các số tự nhiên, 1kn ). b) Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1kn là  ! (1)(2)...(1) ! k n n Annnnk nk  . c) Ví dụ: Ví dụ 1: :Có bao nhiêu cách xếp 5 người ngồi vào một băng ghế có 7 chỗ ngồi. Lời giải Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế để sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7. Vậy có 5 7 7! A2520 (75)!== - cách sắp. Ví dụ 2: Cho 5 điểm A,B,C,D,E . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác 0 → được thành lập từ hai trong năm điểm trên? Lời giải Cứ hai điểm phân biệt sẽ lập được 2 vectơ. Do đó số vectơ khác 0→ được lập từ 5 điểm A,B,C,D,E là 2 520A vectơ. Ví dụ 3: Tổ 1 gồm 10 em, bầu ra 3 cán sự gồm một tổ trưởng, một tổ phó, một thư kí (không kiêm nhiệm) Hỏi có bao nhiêu cách.