Title Pembahasan GURU Matematika - Hardiknas Offline 2024.pdf ✅

Page 1 of 16 BIDANG : MATEMATIKA GURU OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA GURU OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS OFFLINE 1. (Identitas Aljabar) – Mudah Diberikan bilangan real tak nol x. Jika x 2 − 2x − 1 = 0, maka nilai x 12 − 198x 6 + 2024 = ⋯ a. 2023 b. 2024 c. 2025 d. 2026 e. 2027 Jawaban: A Pembahasan: Tinjau bahwa x 2 − 2x − 1 = 0 ⇒ x − 2 − 1 x = 0 ⇒ x − 1 x = 2. Akibatnya, x 3 − 1 x 3 = (x − 1 x ) 3 + 3 (x − 1 x ) = 2 3 + 3 ⋅ 2 = 8 + 6 = 14 sehingga x 6 + 1 x 6 = (x 3 − 1 x 3 ) 2 + 2 = 142 + 2 = 196 + 2 = 198. Kalikan kedua ruas persamaan terakhir di atas dengan x 6 , didapat x 12 + 1 = 198x 6 ⇒ x 12 − 198x 6 = −1. Dengan demikian, diperoleh x 12 − 198x 6 + 2024 = −1 + 2024 = 2023. 2. (Barisan Aritmetika) – Mudah Misalkan Un dan Sn berturut-turut menyatakan suku ke-n dan jumlahan n suku pertama dari suatu barisan aritmetika atas bilangan-bilangan asli. Diketahui bahwa S10 = 175. Jika S9 merupakan bilangan kuadrat sedemikian sehingga U10 merupakan bilangan 2-digit terkecil, maka rata-rata 15 suku pertama dari barisan tersebut adalah ... a. 12 b. 17 c. 25 d. 31 e. 45 Jawaban: C Pembahasan: Perhatikan bahwa S10 = S9 + U10 ⇒ S9 = S10 − U10 = 175 − U10. Agar U10 terkecil, haruslah S9 terbesar. Karena S9 < 175, diperoleh S9 = 144 = 122 sehingga U10 = 175 − 144 = 31. Di lain pihak, tinjau bahwa S10 = 175 ⇒ 10 2 (U1 + U10) = 175 ⇒ 5U1 + 5 ⋅ 31 = 175 ⇒ 5U1 = 175 − 155 = 20 ⇒ U1 = 4. Akibatnya, U10 = 31 ⇒ U1 + 9b = 31 ⇒ 9b = 31 − 4 = 27 ⇒ b = 3.
Page 2 of 16 BIDANG : MATEMATIKA GURU OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA Jadi, Un = 4 + (n − 1)3 = 3n + 1 sehingga U15 = 3 ⋅ 15 + 1 = 46 yang memberikan rata-rata 15 suku pertama dari barisan tersebut adalah x = S15 15 = 15 2 (4 + 46) 15 = 25. 3. (Barisan Geometri) – Sulit Pada papan tulis, tertulis sebanyak 99 bilangan asli berbeda yang membentuk barisan geometri dengan rasio r < 1. Semua bilangan tersebut sudah terurut mulai dari yang terkecil hingga ke yang terbesar. Misalkan Q1,Q2, dan Q3 berturut-turut menyatakan kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga pada kumpulan data tersebut. Jika suku kedua pada barisan tersebut adalah 1 r 31 dan Q1 + Q2 + Q3 = r a + r b + r c , dengan a, b, dan c merupakan bilangan bulat, maka nilai a + b + c = ⋯ a. 28 b. 47 c. 51 d. 67 e. 79 Jawaban: C Pembahasan: Misalkan an = a1r n−1 menyatakaan suku ke-n barisan geometri tersebut. Diketahui 1 r 31 = a2 = a1r ⇒ a1 = 1 r 32. Karena banyaknya bilangan adalah 99, didapat Q1 = a25,Q2 = a50, dan Q3 = a75 sehingga r a + r b + r c = Q1 + Q2 + Q3 = a25 + a50 + a75 = ar 24 + ar 49 + ar 74 = 1 r 32 (r 24 + r 49 + r 74) ⇒ r −8 + r 17 + r 42 . Dengan demikian, didapat a = −8, b = 17, dan c = 42 sehingga diperoleh a + b + c = −8 + 17 + 42 = 51. 4. (Ketaksamaan) – Mudah Diberikan bilangan real positif a, b, dan c. Nilai minimum yang mungkin dari ⌊ a + b c ⌋ + ⌊ b + c a ⌋ + ⌊ c + a b ⌋ adalah ... a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Jawaban: D Pembahasan: Jelas bahwa ⌊x⌋ > x − 1 untuk setiap bilangan real x. Akibatnya, ⌊ a + b c ⌋ + ⌊ b + c a ⌋ + ⌊ c + a b ⌋ > a + b c + b + c a + c + a b − 1 − 1 − 1 = ( a b + b a ) + ( b c + c b ) + ( c a + a c ) − 3 ≥ 2 + 2 + 2 − 3 = 3. Jadi, ⌊ a + b c ⌋ + ⌊ b + c a ⌋ + ⌊ c + a b ⌋ > 3.
Page 3 of 16 BIDANG : MATEMATIKA GURU OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA Karena ⌊x⌋ merupakan bilangan bulat, haruslah ⌊ a + b c ⌋ + ⌊ b + c a ⌋ + ⌊ c + a b ⌋ ≥ 4. 5. (Barisan Rekursif) – Sulit Banyaknya cara menaiki sebuah tangga yang memiliki 8 anak tangga dengan aturan: ● Tidak boleh kembali (turun) ke anak tangga yang sudah dilewati; ● Dalam satu langkah dapat melangkah sejauh 1 atau 2 anak tangga; dan ● Tidak boleh melangkah sejauh 2 anak tangga berturutan adalah ... a. 8 b. 9 c. 11 d. 17 e. 19 Jawaban: E Pembahasan: Misalkan p(n) menyatakan banyak cara menaiki sebuah tangga yang memiliki n anak tangga sehingga memenuhi syarat pada soal. Akan dicari f(8). Tinjau bahwa jika langkah pertama melangkah sejauh 1 anak tangga, maka ada f(n − 1) cara. Jika langkah pertama melangkah sejauh 2 anak tangga, maka langkah berikutnya haruslah melangkah sejauh 1 anak tangga sehingga ada f(n − 3) cara. Akibatnya, f(n) = f(n − 1) + f(n − 3) untuk n ≥ 4. Mudah dicek bahwa f(1) = 1, f(2) = 2, dan f(3) = 3. Tinjau bahwa f(4) = f(3) + f(1) = 3 + 1 = 4 f(5) = f(4) + f(2) = 4 + 2 = 6 f(6) = f(5) + f(3) = 6 + 3 = 9 f(7) = f(6) + f(4) = 9 + 4 = 13 f(8) = f(7) + f(5) = 13 + 6 = 19. Dengan demikian, banyaknya cara menaiki 8 anak tangga dengan syarat pada soal adalah 19. 6. (Polinom dan Akar Polinom) – Mudah Polinomial-polinomial P(x) = x 3 − 7x 2 + ax + b dan Q(x) = x 5 − 5x 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f memiliki himpunan akar-akar yang sama, dimana a, b, c, d, e, f adalah bilangan-bilangan real. Jika P(3) = 6, maka jumlahan semua nilai Q(3) yang mungkin adalah ... a. 37 b. 50 c. 75 d. 90 e. 120 Jawaban: D Pembahasan: Misalkan akar-akar dari P adalah p, q, r. Maka, akar-akar dari Q adalah dua dari p, q, r masing-masing diulang sekali, atau satu dari p, q, r masing-masing diulang dua kali. Ada 2 kasus.
Page 4 of 16 BIDANG : MATEMATIKA GURU OLIMPIADE SAINS HARDIKNAS 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA ● Kasus 1: akar-akar dari Q adalah p, p, q, q, r. Dengan Vieta, karena p + q + r = 7 dan 2p + 2q + r = 5, didapat r = 9. Jadi, P(x) = (x − 9)(x 2 + kx + l) dan Q(x) = (x − 9)(x 2 + kx + l) 2 , untuk suatu k, l. Karena P(3) = 6, maka Q(3) = P(3) 2 (3−9) = −6. ● Kasus 2: akar-akar dari Q adalah p, p, p, q, r. Lagi, dengan Vieta, p + q + r = 7,3p + q + r = 5, didapat p = −1. Jadi, P(x) = (x + 1)(x 2 + kx + l) dan Q(x) = (x + 1) 3 (x 2 + kx + l). Karena P(3) = 6, maka Q(3) = P(3)(3 + 1) 2 = 96. Jawabannya −6 + 96 = 90. 7. (Algoritma Pembagian) – Mudah Banyaknya bilangan bulat a dengan 0 ≤ a ≤ 10 sehingga a(a 2−1) 3 selalu merupakan bilangan asli adalah ... a. 2 b. 5 c. 9 d. 10 e. 19 Jawaban: C Pembahasan: Berdasarkan Algoritma Pembagian, setiap bilangan bulat a dapat ditulis sebagai 3k, 3k + 1, atau 3k + 2 untuk suatu bilangan bulat k. ● Jika a = 3k, maka a(a 2 − 1) 3 = 3k((3k) 2 − 1) 3 = k(9k 2 − 1) yang merupakan bilangan bulat. ● Jika a = 3k + 1, maka a(a 2 − 3) 3 = (3k + 1)((3k + 1) 2 − 1) 3 = (3k + 1)(3k 2 + 2k) yang merupakan bilangan bulat. ● Jika a = 3k + 2, maka a(a 2 − 1) 3 = (3k + 2)((3k + 2) 2 − 1) 3 = (3k + 2)(3k 2 + 4k + 3) yang merupakan bilangan bulat. Jadi, untuk setiap bilangan bulat a, diperoleh a(a 2−1) 3 merupakan bilangan bulat. Akibatnya, banyaknya nilai a yang memenuhi kondisi soal adalah 9. 8. (Identitas Aljabar) – Mudah Diberikan bilangan real positif x. Jika x 2 + 1 x 2 = 7, maka nilai x 3 + 1 x 3 = ⋯ a. 7 b. 10 c. 11 d. 18 e. 23 Jawaban: D