Title Toán 12_Tập 2 C5_Bài 3. Phương trình mặt cầu CTST_bản GV.pdf ✅

1 Bài 3. Phương trình mặt cầu A. Kiến thức cần nhớ I. Định nghĩa Cho trước điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I là bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I một khoảng bằng R. Nhận xét: +) Điểm M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM = R +) Điểm M năm trong mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM < R +) Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM > R II. Phương trình mặt cầu  Phương trình mặt cầu (S) dạng 1: Để viết phương trình mặt cầu ( ), S ta cần tìm tâm I a b c ( ; ; ) và bán kính R. Khi đó: Tâm: ( ; ; ) 2 2 2 2 ( ) : ( ) : ( ) ( ) ( ) . Bán kín : h I a b c S S x a y b z c R R  Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: Khai triển dạng 1, ta được: 2 2 2 2 2 2 2 x y z ax by cx a b c R 2 2 2 0 và đặt 2 2 2 d a b c R thì được phương trình mặt cầu dạng 2 là: 2 2 2 ( ) : 2 2 2 0. S x y z ax by cz d Với 2 2 2 R a b c d 0 hay 2 2 2 a b c d 0 là điều kiện để (S) là mặt cầu. B. Các dạng bài tập & phương pháp giải Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu và lập phương trình mặt cầu Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu ( ) S : a) Có tâm I(1;2;3) , bán kính R  5 ; b) Có đường kính AB với A(1;3;7) và B(3;5;1) ; c) Có tâm A(1;0; 2)  và đi qua điểm B(2;4;1). Lời giải tham khảo a) Mặt cầu ( ) S có phương trình: 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) 25 x y z       . b) Mặt cầu ( ) S có đường kính AB nên có tâm J(2;4;4) là trung điểm của $A B$ và bán kính R JA   11 . Vậy ( ) S có phương trình: 2 2 2 ( 2) ( 4) ( 4) 11 x y z       . c) Mặt cầu ( ) S có tâm A(1;0; 2)  và đi qua điềm B(2;4;1) nên có bán kính R AB   26 . Vậy ( ) S có phương trình: 2 2 2 ( 1) ( 2) 26 x y z      . Ví dụ 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: a) 2 2 2 ( ) : ( 3) ( 7) ( 1) 81 S x y z       ;
2 b)   2 2 2 S x y z : ( 2) ( 5) 13       ; c)   2 2 2 S x y z : 4     . Lời giải tham khảo a) Mặt cầu ( ) S có tâm I(3;7; 1)  và bán kính R   81 9 . b) Mặt cầu S   có tâm J( 2;0;5)  và bán kính R 13   . c) Mặt cầu S   có tâm O(0;0;0) và bán kính R 4 2    . Ví dụ 3. Viết phương trình mặt cầu ( ) S : a) Có tâm I(3; 2; 4)   , bán kính R  10 ; b) Có đường kính EF với E(3; 1;8)  và F(7; 3;0)  ; c) Có tâm M( 2;1;3)  và đi qua điểm N(2; 3; 4)   . Lời giải tham khảo a) Mặt cằu ( ) S có tâm I( 3; 2; 4)   , bán kính R  10 có phương trình là: 2 2 2 ( 3) ( 2) ( 4) 100 x y z       b) Mặt cằu (S) có đường kính EF nên có tâm 1(5; 2;4)  là trung điểm của EF và bán kính 2 2 2 IE         (5 3) ( 1 2) (8 4) 21 có phương trình là: 2 2 2 ( 5) ( 2) ( 4) 21 x y z       c) Bán kính của mặt cầu là 2 2 2 MN           (2 2) ( 3 1) ( 4 3) 81 9 . Mặt cầu ( ) S có M( 2;1;3)  và bán kính R  9 có phương trình là: 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 3) 81 x y z       Ví dụ 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) 2 2 2 x y z x y z        8 6 2 10 0 ; b) 2 2 2 x y z x y z        6 33 0 . Lời giải tham khảo a) Phương trình 2 2 2 x y z x y z        8 6 2 10 0 có dạng 2 2 2 x y z ax by cz d        2 2 2 0 với a b c d        4; 3; 1; 10 . Ta có 2 2 2 a b c d          16 9 1 10 36 0. Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I( 4;3; 1)   , bán kính R  6 . b) Phương trình 2 2 2 x y z x y z        6 33 0 có dạng 2 2 2 x y z ax by cz d        2 2 2 0 với 1 1 ; ; 3; 33 2 2 a b c d       . Ta có 2 2 2 1 1 47 9 33 0 4 4 2 a b c d           . Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu. Ví dụ 5. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) 2 2 2 x y z z      4 32 0 ; b) 2 2 2 x y z x y z        2 2 2 4 0. Lời giải tham khảo a) Phương trình 2 2 2 x y z z      4 32 0 có dạng 2 2 2 x y z ax by cz d        2 2 2 0 với a b   0; 0; c d     2; 32 .
3 Ta có 2 2 2 2         b c d ( 2) 32 34 0 . Do đó đây là phương trình mặt cầu vớl 1(0;0; 2)  và R  34 b) Phương trình 2 2 2 x y z x y z        2 2 2 4 0 có dạng 2 2 2 x y z ax by cz d        2 2 2 0 với a $=$      1; 1; 1; 4 b c d . Có 2 2 2 2 2 2 a b c d             ( 1) ( 1) 1 4 1 0 . Do đó đây không phái là phương trình mặt cầu. Dạng 2. Một số bài toán liên quan thực tế Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục toạ độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trinh 2 2 2 ( 300) ( 400) ( 2000) 1 xyz       . Tìm toạ độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình z  0 . Lời giải tham khảo Tọa độ tâm I(300; 400; 2000), R =1. Khoảng cách từ tâm của quá bóng đến mặt đất có phương trình z  0 là 2 | 2000 | 2000 1 d   (mét). Ví dụ 7. Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng M . Cho biết M đang nằm trên mặt sân có phương trình z  0 , đồng thời thuộc mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 32) ( 50) ( 10) 109 S x y z       (đơn vị độ dài tính theo mét). a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( ) S . b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc J của tâm I trên mặt sân. c) Tính khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J . Lời giải tham khảo
4 a) Mặt cầu ( ) S có phương trình 2 2 2 ( 32) ( 50) ( 10) 109 x y z       nên có tâm I(32;50;10) và bán kính R  109 . b) Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình z  0 trùng với mặt phẳng tọa độ ( ) Oxy , suy ra hình chiếu vuông góc của điểm I(32;50;10) xuống mặt sân có toạ độ J(32;50;0). c) Trong tam giác vuông IJM, ta có IJ IM   10, R , suy ra 2 2 JM IM IJ      109 100 3. Vậy khoảng cách từ vị trí M của quả bóng đến điểm J là 3 m . Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục toạ độ là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điềm I( 6; 1;4)   . a) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 2 km . Viết phương trình mặt cầu ( ) S biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng. b) Một người sử dụng điện thoại tại điểm M( 5; 2;5)   . Hãy cho biết điểm M nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu ( ) S và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên hay không. c) Câu hỏi tương tự đối với người sử dụng điện thoại ở điểm N( 1;0;1)  . Lời giải tham khảo a) Mặt cầu ( ) S có tâm I( 6; 1;4)   và bán kính R  2 nên có phương trình: 2 2 2 ( 6) ( 1) ( 4) 4. x y z       b) Ta có IM R   3 , suy ra điểm M nằm trong mặt cầu ( ) S và người đó có thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên. c) Ta có IN R   35 , suy ra điểm N nằm ngoài mặt cầu ( ) S và người đó không thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên. Ví dụ 9. Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình: 2 2 2 x y z x y z        200 600 4000 4099900 0.