Title KNTTVCS-Hình học 12-Chương 5-Bài 2-Phương trình đường thẳng trong KG-Chủ đề 1-Xác định các yếu tố cơ bản ĐT-ĐỀ BÀI.pdf ✅

Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 1 BÀI 2 PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 1. Phƣơng trình đƣờng thẳng a. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng Cho đường thẳng  và vectơ u khác 0 . Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của u song song hoặc trùng với  . Nhận xét:  Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương của nó.  Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì k u k . ( 0)  cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó . b. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phƣơng trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm 0 0 0 M x y z ( ; ; ) và nhận u a b c  ( ; ; ) (với 2 2 2 abc    0 ) làm vectơ chỉ phương có dạng: 0 0 0 x x at y y bt z z ct            với t  ( t được gọi là tham số) c. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm 0 0 0 M x y z ( ; ; ) và có vectơ chỉ phương u a b c  ( ; ; ) . Nếu abc . . 0  thì hệ phương trình: 0 0 0 x x y y z z a b c      được gọi là phƣơng trình chính tắc của đường thẳng  .
Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 2 d. Lập phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm cho trƣớc Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đường thẳng  đi qua hai điểm ( ; ; ), ( ; ; ) A x y z B x y z A A A B B B và nhận ( ; ; ) AB x x y y z z     B A B A B A làm vectơ chỉ phương có:  Phương trình tham số : ( ) ( ) ( ) A B A A B A A B A x x x x t y y y y t z z z z t               với t   Phương trình chính tắc: A A A B A B A B A x x y y z z x x y y z z         (với , , B A B A B A x x y y z z    ) 2. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng. Điều kiện để hai đƣờng thẳng vuông góc a. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng. Trong không gian, hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của chúng cùng song song với một đường thẳng. Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vecto 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a a b b b b c c c c    ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )  Hai a b, cùng phương     a b, 0   .  Hai a b, không cùng phương     a b, 0   .  Ba vectơ a b c , , đồng phẳng     a b c , . 0   .  Ba vectơ a b c , , không đồng phẳng     a b c , . 0   . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2  , lần lượt đi qua các điểm 1 2 M M, và tương ứng có 1 1 1 1 2 2 2 2 u a b c u a b c   ( ; ; ), ( ; ; ) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:
Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 3 Chú ý: Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2  , tương ứng có 1 1 1 1 2 2 2 2 u a b c u a b c   ( ; ; ), ( ; ; ) là hai vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:     1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 : , : x x a t x x a t y y b t t y y b t t z z c t z z c t                           Xét hệ phương trình hai ẩn 1 2 t t, :   1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 * x a t x a t y b t y b t z c t z c t               Khi đó :      1 2 1 u cùng phương với 2 u và hệ * vô nghiệm.  1 2    // Hệ * có vô số nghiệm.  1 cắt  2 Hệ * có nghiệm duy nhất.  1 và 2 chéo nhau 1  u không cùng phương với 2 u và hệ * vô nghiệm. b. Điều kiện để hai đƣờng thẳng vuông góc Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2  , tương ứng có 1 1 1 1 2 2 2 2 u a b c u a b c   ( ; ; ), ( ; ; ) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2          u u a a b b c c . 0 0
Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 4 3. Góc a. Góc giữa hai đƣờng thẳng Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 2  , có hai vectơ chỉ phương lần lượt là: 1 1 1 1 2 2 2 2 u a b c u a b c   ( ; ; ), ( ; ; ). Khi đó, ta có:     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos , cos . . . u u a a b b c c u u u u a b c a b c            b. Góc giữa đƣờng thẳng với mặt phẳng Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương u a b c  ( ; ; ) và mặt phẳng ( ) P có vectơ pháp tuyến n A B C  ( ; ; ). Khi đó, ta có:     2 2 2 2 2 2 . sin ,( ) cos . . . u n aA bB cC P u n u n a b c A B C           c. Góc giữa hai mặt phẳng Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng 1 2 ( ),( ) P P có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là 1 1 1 1 2 2 2 2 n A B C n A B C   ( ; ; ), ( ; ; ) . Khi đó, ta có:     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 22 1 1 1 2 2 2 . cos ( ),( ) cos . . . n n A A B B C C P P n n n n A B C A B C         