Title 6. Đề thi chọn HSG Toán 10 năm học 2017 – 2018 cụm Tân Yên – Bắc Giang.doc ✅

SỞ GD & ĐT BẮC GIANG CỤM TÂN YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 Năm học: 2017 - 2018 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (6 Điểm) Cho phương trình 22340xxm , m là tham số. a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm 12,xx thỏa mãn 2222 12124xxxx . c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn 3;4 . Câu 2. (2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số) 2232110xmxmm có hai nghiệm 12,xx thỏa mãn điều kiện 124xx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 33121212338Pxxxxxx . Câu 3. (2 điểm) Giải phương trình 3234 81822; 3xxxx ()x¡ Câu 4. (2 điểm) Giải hệ phương trình 22 2222 262230 (1) ()(3)3()2 (2) xyyy xyxxyyxy      Câu 5. (2 điểm) Cho các số dương a , b , c có 3abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 aabbcc P cababcbca   . Câu 6. (2 điểm) Không dùng máy tính hãy tính tổng 222222 cos0cos1cos2cos3cos4...cos180P . Câu 7. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm 1;2A và 4;3B . Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc · AMB bằng 45 0 . Câu 8. (2 điểm) Cho tam giác đều ABC và các điểm ,,MNP thỏa mãn 2 ., , 3BMkBCCNCA→→→→ 4 15APAB→→ . Tìm k để AM vuông góc với PN . …………………Hết………………… Họ và tên thí sinh:……………………………..…………Số báo danh:……………….
Câu Nội dung Điểm 1 Cho phương trình 22340xxm , m là tham số. a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 12,xx thỏa mãn 2222 12124xxxx . c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn 3;4 . a Để phương trình có hai nghiệm thì 1340m 1 5 3m . KL 1 b Khi 5 3m thì 12 12 2 34 xx xxm     (Không có bước này không trừ điểm) 0.5 2222 12124xxxx 2212121224xxxxxx 223422344mm 2 918002mmm 1 Kết hợp với 5 3m được 5 0; 3m    . KL 0.5 c Nghiệm của phương trình 22340xxm là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 22yxx và 34ym . 0.5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số 22yxx trên đoạn 3;4 0.5 Từ bảng biến thiên để phương trình 22340xxm có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn 3;4 thì 1343m 0.5 15 ; 33m    . KL 0.5 2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số) 2232110xmxmm có hai nghiệm 12,xx thỏa mãn điều kiện 124xx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 33121212338Pxxxxxx .
Trước hết xét biệt thức 223311422mmmmmmmm  . Phương trình có hai nghiệm 12,xx nên 0220mmm (1) Khi đó, theo Vi-ét ta có 1221bxxm a với điều kiện 214m (2) Và 23121cxxmm a . Điều kiện (1) và (2) giải được 20m hoặc 23m . 0.5 Như vậy 333121212123xxxxxxxx nên biểu thức 332321212821811640Pxxxxmmmmm  . Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 21640Pmmm với 2;02;3m . Ta lập bảng biến thiên của hàm số 21640Pmmm với 2;02;3m . 0.5 0.5 Từ đó ta kết luận được: Giá trị lớn nhất của biểu thức 16P khi 2m . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 144P khi 2m . 0.5 3 Giải phương trình 3234 81822; 3xxxx ()x¡ Phương trình đã cho tương đương với 3 3 246246 33 327327xx    Đặt 33 2 3 24646 33 32727 ux vxu            ta có hệ 3 3 46 3 27 46 3 27 uv vu         0.5 Trừ hai phương trình cho nhau theo từng vế ta có: 22 22 0, (1) 3()()() 3, (2) uv uvvuvuvu vuvu      Dễ thấy 220vuvu nên (2) vô nghiệm. 0.5 3 3825 (1)320 2733uvxxxxx 0.5 0 326 3 x x        và kết luận 0.5
4 Giải hệ phương trình 22 2222 262230 (1) ()(3)3()2 (2) xyyy xyxxyyxy      ĐKXĐ: 1,5y . 333322(2)333211 112 xyxyxyxy xyyx   . 1 Thay vào (1) ta được: 22 221111 312121 2221 xx xxxxx xx       (Có thể bình phương được pt : 221420xxx 0.5 Giải hai phương trình này ta được 1,22xx . Vậy hệ có hai nghiệm là ;1;1,22,2xy . 0.5 5 Cho các số dương a , b , c có 3abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 aabbcc P cababcbca    333 133 2816233 aaaaacc cabcccabc       33 3133 3.. 281633 aacc cc    33 416 ac  . Suy ra 33 4162 aaac cab    . 1 Tương tự 33 4162 bbba abc    và 33 4162 cccb bca    . 0.5 Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức cùng chiều ta được 3 2P . 3 2P khi abc . KL 0.5 6 Tính 222222cos0cos1cos2cos3cos4...cos180P 22 cos0cos180cos0cos180 . … 22 cos89cos91cos89cos91 . 0.5 22222222cos02cos1cos2cos3cos4...cos89cos90P 2222222cos1cos2cos3cos4...cos89P