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Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 FSM-MEKNES https://sites.google.com/site/saborpcmath/ COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE : CHIMIE : MATH : INFORMATIQUE : 2020-2021 SMAI 1 PAR WHATSAPP :06-02-49-49-25 TDs THERMODYNAMIQUE
Série N 1 de Thermodynamique 1 1 Université Moulay Ismail A.U 2020/2021 Faculté des Sciences Filière SMIA Département de Physique Semestre 1 Série N°1 de Thermodynamique Exercice 1 (Aspects mathématiques des fonctions d'état) 1- Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes. f(x, y) = x 2 + y 2 − 3xy, g(x, y) = x y Vérifier dans chaque cas l’égalité des dérivées secondes croisées. 2- Les formes différentielles suivantes sont-elles totales exactes ? δf1 = dx + xdy et δf2 = ydx + xdy Calculer les intégrales de ces deux formes différentielles entre les points O(0,0) et M(a, a) sur les deux chemins différents (OAM et OM) représentés sur la figure ci-dessous. Conclure Exercice 2. (Grandeurs intensives et extensives) Les grandeurs suivantes, relatives à un système thermodynamique, sont-elles intensives ou extensives ? La pression P, la température T, le volume V, le volume molaire Vm, la masse m, la masse volumique , la concentration C, la masse molaire M, la densité particulaire n*, l'énergie interne U, l’enthalpie H, les capacités calorifique CV à volume constant et CP à pression constante, les capacités molaire et massique CVm, C̅ V à volume constant et CPm, C̅ P à pression constante, les coefficients thermoélastiques de compressibilité isotherme χT et de dilatation isobare α. Exercice 3. (Manomètre différentiel) Un manomètre différentiel est constitué de deux récipients cylindriques de même section droite SC, reliés par un tube de section intérieure S constante. L’ensemble contient deux liquides non miscibles de masses volumiques ρ1 et ρ2. 1- Initialement, la pression au-dessus des deux liquides est la même et égale à P0, la surface de séparation des deux liquides est définie par H1 et H2 (Figure 1). En déduire une relation entre ρ1, ρ2, H1 et H2. 2- On provoque au-dessus du liquide 1 (de masse volumique ρ1) une surpression ∆P, la surface de séparation des deux liquides baisse de ∆h, la surface du liquide 1 baisse de h1 et celle du liquide 2 (de masse volumique ρ2) augmente de h2 (Figure 2). 3- Exprimer h1 et h2 en fonction de ∆h, SC et S. 4- Exprimer ∆P en fonction de ∆h, h1, h2, ρ1, ρ2 et de l’accélération de pesanteur g, puis en fonction de ∆h, ρ1, ρ2,SC, S et de g. 5- En déduire la sensibilité du manomètre différentiel ∆h ∆P . Calculer sa valeur numérique. A.N : ρ1 = 998 Kg m−3 ; ρ2 = 1024 Kg m−3 ; SC = 100 S; g = 9,81 m s −2 . 6- Commenter le résultat en le comparant à celui que l’on obtiendrait pour un manomètre classique à tube en U de section constante (SC = S). a a M(a, a) A(a, 0) O X Y
Série N 1 de Thermodynamique 1 2 Exercice 4. On met dans un verre d’eau un glaçon de volume V0. Sa partie émergé (partie visible) est de volume V1. À 0 °C, la masse volumique du glaçon est ρglace = 920 kg. m−3 celle de l’eau liquide est ρeau = 1000 kg. m−3 et celle de l’air est ρair = 1,3 kg. m−3 1- Préciser les forces exercées sur le glaçon lorsqu’il est à l’équilibre. 2- Calculer le pourcentage volumique η de sa partie visible. 3- Préciser l’erreur commise si on néglige l’influence de l’air. Exercice 5 L’eau sous forme liquide est caractérisée, dans un domaine restreint de température et de pression autour d’un état particulier 0 pour lequel P0 = 1 bar T0 = 293 K et V0 = 1 L, par les coefficients de dilatation isobare et de compressibilité isotherme supposés constants : α = 3. 10−4K −1 et χT = 5. 10−10Pa−1 . 1- Montrer, en exploitant le caractère constant des coefficients thermoélastiques, que l’équation d’état V(P, T) de l’eau liquide est : ln ( V V0 ) = α(T − T0 ) − χT (P − P0 ) 2- Calculer le volume de cet échantillon d’eau pour T = T0 sous une pression de 1000 bar; en déduire la validité de l’approximation du fluide incompressible dans le cas de l’eau liquide. 3- Le liquide est enfermé dans une bouteille métallique de volume V0 constant. Par suite d’un incendie, la température augmente de 400 °C. Calculer la pression P1 dans le récipient et commenter. Reprendre ces calculs dans le cas d’un gaz supposé parfait. Que peut-on en déduire quant au stockage des fluides ? ∆h h1 h2 ρ1 ρ2 P0 P0 P0 P0 + ∆P S SC SC H1 H2 Figure 1 Figure 2
Série N 1 de Thermodynamique 1 1 Université Moulay Ismail A.U 2020/2021 Faculté des Sciences Filière SMIA Département de Physique Semestre 1 Corrigé de la Série N°1 de Thermodynamique Exercice 1 (Aspects mathématiques des fonctions d'état) 1- ( ∂f ∂x) y est la dérivée de f par rapport à x en maintenant y constante. f(x, y) = x 2 + y 2 − 3xy g(x, y) = x y ( ∂f ∂x) y = 2x − 3y et ( ∂f ∂y) x = 2y − 3x ∂ 2f ∂x∂y = ∂ ∂x [( ∂f ∂y) x ] y = ∂ ∂x (2y − 3x)y = −3 ∂ 2f ∂y∂x = ∂ ∂y [( ∂f ∂x) y ] x = ∂ ∂y (2x − 3y)x = −3 Le lemme de Schwartz est vérifié : ∂ 2f ∂x∂y = ∂ 2f ∂y∂x ( ∂g ∂x) y = 1 y et ( ∂g ∂y) x = −x y 2 ∂ 2g ∂x∂y = ∂ ∂x [( ∂g ∂y) x ] y = ∂ ∂x ( −x y 2 ) y = −1 y 2 ∂ 2g ∂y∂x = ∂ ∂y [( ∂g ∂x) y ] x = ∂ ∂y ( 1 y ) x = −1 y 2 Le lemme de Schwartz est vérifié : ∂ 2g ∂x∂y = ∂ 2g ∂y∂x 2- Rappel de cours En physique on est souvent conduit à étudier de petites quantités notées parfois δf ou df qui s’expriment en fonction des différentielles des variables d’états (par exemple x et y). df = A(x, y)dx + B(x, y)dy ou δf = C(x, y)dx + D(x, y)dy - La notation df est utilisée pour spécifier qu’il s’agit d’une différentielle totale exacte. Elle représente la différence de f entre deux états voisins. La variation de f entre un état initial et un état final ne dépend pas du chemin suivie, elle se note : ∆f = ∫ df f i = ff − fi La condition mathématique nécessaire et suffisante pour que A(x, y)dx + B(x, y)dy soit une différentielle totale exacte est : ∂A(x, y) ∂y = ∂B(x, y) ∂x - La notation δf = C(x, y)dx + D(x, y) est appelée une forme différentielle. Ell est utilisée pour spécifier que C(x, y)dx + D(x, y) n’est pas une différentielle totale exacte. Dans ce cas ∂C(x, y) ∂y ≠ ∂D(x, y) ∂x