Title CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG.pdf ✅

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Dưới đây là các hệ thức về mối liên hệ của các cạnh, các góc, đường chiếu và đường cao trong một tam giác vuông. Cho vuông ABC tại A. Giả sử AH là đường cao của tam giác. Khi đó ta có các hệ thức sau: và 2 1) BH.BC  BA 2 CH.CB  CA 2 2 2 2 2) . 3) . . 1 1 1 4) HB HC HA AH BC BACA HA BA CA     (tương tự với góc )     5)sin ,cos , tan , CA BA CA BA B B B cotB CB BC BA CA     C         ˆ 1 1  6)sin cos ,sin cos , tanB , tan cot cot B C C B cotC C B cotB C       Trên đây tôi đã nhắc lại một số hệ thức cơ bản nhất về mối liên hệ gữa các cạnh, các góc, đường chiếu và đường cao trong một tam giác vuông. Dưới đây là hệ thống bài tập giúp bạn đọc ghi nhớ và sử dụng thành thạo các công thức này trong các bài toán. Bài 1: Cho vuông ABC tại A đường cao . AH Biết Giải BH  9,CH 16. tam giác . ABC  Định hướng lời giải: Ở đây bài toán yêu cầu giải tam giác ABC tức là chúng ta cần tìm độ dài 3 cạnh của tam giác. Điều này hoàn toàn dễ dàng ta chỉ cần sử dụng các hệ thức ở trên thì bài toán sẽ được giải quyết. Dễ thấy BC  BH CH  25 . Để tính các cạnh AB,AC ta sẽ sử dụng hệ thức 1) ở trên ta được và . Từ đó ta đã tìm 2 BA  BH.BC  225  BA 15 2 CA  CH.CB  400  CA  20 được độ dài các cạnh của . Ngoài ra ta hoàn toàn có ABC thể tính được độ dài đường cao, diện tích và chu vi ABC Lời giải Ta có BC  BH CH  25 Trong tam giác vuông ABC tại A đường cao AH Ta có: 2 2 . 225 15 . 400 20 AB BC HB AB CA BC CH CA          Nhận xét: Như vậy đối vớiABC vuông tại A và có đường cao AH. Ta chỉ cần biết được độ dài 2 trong số các cạnh ta hoàn toàn có AB, BC,CA, HA, HB, HC thể xác định được tất cả các yếu tố còn lại củaABC . Từ đó ta sẽ có các bài toán sau: Cho vuông ABC tại A đường cao AH 1) Biết AC 12, BC 15. Tính độ dài các đoạn AB, BH,CH, AH. 2) Biết AC 10, HC  8 . Tính độ dài các đoạn AB, BC, BH, AH.
3) Biết AB 15, AH 12 . Tính độ dài các đoạn AC, BC,CH, BH . 4) Biết BC  25, AH 12 . Tính độ dài các đoạn AC, AB,CH, BH . Bài 2: Cho vuông ABC tại A đường cao AH. Biết . Giải tam giác và tính độ dài A  C 12,C  60 ABC đường cao AH Lời giải Áp dụng hệ thức 5) ta sẽ có:     12 cos 24 cos cos 60 sin .sin 12.sin 60 6 3 CA AC C BC CB C AB C BC AB BC C             Lại có . 6 3.12 . 2 . 3 3 24 ABC AB AC AH BC S AB AC AH BC         Nhận xét: Ở bài toán 1 ta thấy nếu biết được 2 yếu tố về cạnh và đường cao trongABC vuông thì ta hoàn toàn xác định được các yếu tố còn lại trong tam giác. Đến bài toán 2 này ta thấy rằng nếu trong tam giác ABC vuông mà ta biết được 1 yếu tố về cạnh và một yếu tố về góc thì các yếu tố còn lại cũng hoàn toàn được xác định. Từ đó sẽ dẫn đến các bài toán sau: Cho vuông ABC tại A có đường cao AH 1) Biết Tính độ dài các đoạn  BC 10,C  30. AB, AC, BH,CH, AH 2) Biết . Tính độ dài các đoạn  AH  5,C  60 AB, BC,CA, BH,CH 3) Biết . Tính độ dài các đoạn  CH  8,C  45 AB, BC,CA, BH, AH 4) Biết AB: AC  3: 4 và . Tính BC 15 độ dài các đoạn BH,CH Ở 2 bài toán trên ta đều xét tam giác ABC vuông. Bây giờ ta chuyển sang xét các tam giác không vuông. Bài 3: Cho có 3 góc ABC nhọn, đường cao AH a) Chứng minh   BC  AH.cot B  cotC b) Biết . Giải tam giác ABC   AH  6, B  60,C  45 Lời giải a. Ta thấy trên hình có 2 tam giác và ABH ACH đều vuông tại H từ đó ta có thể áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác này + Trong vuông ABH tại H có: (1)   cot .cot BH B BH AH B AH    + Trong vuông ACH tại H có:
(2)   cot .cot CH C CH AH C AH    + Từ (1) và (2), suy ra:   BC  BH  HC  AH.cot B  cotC b. Theo phần a) ta có:   BC  AH.cot B  cotC  6cot 60  cot 45  2 3  3 + Trong vuông ABH tại H có:   6 sin 4 3 sin sin 30 AH AH B AB AB B       + Trong vuông ACH tại H có:   6 sin 6 2 sin sin 45 AH AH C AC AC C       Bài 4: Cho có ABC nhọn. Chứng minh diện tích tam giác ABC là A 1  . .sin 2 S  AB AC A  Định hướng lời giải: Ta đã biết diện tích tam giác thì bằn g cạnh đáy x chiều cao như vậy ở bài 1 2 toán này ta sẽ phải hạ chiều cao từ 1 đỉnh của tam giác. Quan sát điều cần chứng minh ta thấy  sin A nên ta sẽ phải dựng đường cao hạ từ đỉnh B hoặc C củaABC . Từ đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta dễ dàng có điều phải chứng minh. Lời giải Hạ BH  AC(H  AC) Trong có  ABH  BH  ABsin A Do đó 1 1  . . .sin 2 2 ABC S  BH AC  AB AC A đpcm  Nhận xét: - Rõ ràng ta hoàn toàn có thể mở rộng bài toán này cho hình bình hành ABCD vì thực chất hình bình hành ABCD bằng 2 lần diện tích tam giác ABD do đó  . .sin . ABCD S  AB AD A - Bài toán trên là một bài toán khá cơ bản tuy nhiên nó có ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác nhau. Dưới đây là một số bài toán như vậy: 1) (Tính độ dài đường phân giác trong tam giác) Xét ABC nhọn có đường phân giác ADD BC Ta có ABC ABD ACD S S S      Theo bài toán trên ta suy ra:
      1 1 1 . .sin . .sin . .sin 2 2 2 2 2 2 . . . .sin 2 ( ).sin 2 os A A AB AC A AB AD AC AD A c AB AC AB AC A AD A AB AC AB AC        ( Ta có công thức Công thức này chứng minh cũng không quá khó khăn, ta sẽ xét    sin 2sin . 2 2 os A A A  c ABC cân tại A và kẻ các đường các đường cao sau AH, BK đó sử dụng hệ thức lượng giác các tam giác vuông. Việc chứng minh cụ thể xin được dành cho bạn đọc). 2) Cho có . Trên ABC cạnh lần lượt lấy các điểm Chứng minh rằng A  90 AB, AC B',C '. 'C' ABC AB S S    . '. ' AB AC AB AC Áp dụng bài toán trên ta có:  'C'  1 . .sin . 2 1 '. ' '. '.sin 2 ABC AB AB AC A S AB AC S AB AC AB AC A     đpcm Các bài tập dưới đây xin mời các bạn đọc tự chứng minh: 1. Cho ABC nhọn. Kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E . Tìm vị trí của d để diện tích BDE đạt giá trị lớn nhất. 2. Cho tứ giác có 2 ABCD đường chéo cắt nhau tại O. BiếtAOD  90 . Chứng minh:   1 AC.BD.sin 2 ABCD S  AOD 3. Cho vuông ABC tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF  BC a. Chứng minh  AF  BE.cosC b. Biết . Tính diện tích tứ giác  BC 10,C  60 ABFE c. và AF BE cắt cạnh tại O. TínhsinAOB Bài 5: Cho . Trên ABC cạnh BC lấy hai điểm M , N sao cho BAM  CAN Chứng minh rằng: 2 . . BM BN AB b CN CM AC        . 2 BM CM AM c CN BN AN   (Đề thi chuyên Toán THPT Hùng Vương năm 2000) 2 . . BM CM AM a CN BN AN       