Title Chuyên đề 7_Cấp số nhân_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ NHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q . Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 2. Cấp số nhân (un ) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi: u u q n n n =  −1 . , 2 . ( ) 3. Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu 1 u và công bội q thì số hạng tổng quát n u của nó được xác định bởi công thức: ( ) 1 1 . , 2 . n n u u q n − =  Cho cấp số nhân (un ) với công bội q 1 . Đặt n n 1 2 S u u u = + ++ . Khi đó: 1 (1 ) . 1 n n u q S q − = − B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1% / năm. Gọi n u là số dân của tỉnh đó sau n năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020. b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020. Lời giải a) Ta có dãy n u lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 2 o u = triệu dân và công sai q =1% . Khi đó số hạng tổng quát của 1 2 (1 1%)n n u − =  + (triệu dân). b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là: 10 1 10 u 2 (1 1%) 2,19 − =  +  (triệu dân). Câu 2: Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó). a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng. b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng. c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng? Lời giải a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là: u1 = − = − = 800 800.4% 800. 1 4% 768 ( ) (triệu đồng). Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là: ( ) ( ) 2 1 u = − − − = − = 800. 1 4% 800. 1 4% .4% 800.(1 4%) 737, 28 (triệu đồng). b) Gọi n u là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng. Dãy số n u tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là 0 u = 800 triệu đồng và công bội q = −1 4%. Khi đó công thức tổng quát để tính 800.(1 4%)n n u = − . c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là: 10 10 u =  −  800 (1 4%) 531,87 (triệu đồng). Câu 3: Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m
. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống. Lời giải Gọi n u là độ dài dây kéo sau n lần rơi xuống ( ) n Ta có: u 100 m 0 = ( ). Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: u m 1 =100.75% . ( ) Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: 2 u = = 100.75%.75% 100. ( ) 2 (75%) m .  Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q = 0,75% , có công thức tổng quát ( ) 1 100 (0,75%) m n n u − =  . Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là: ( ) ( ) 10 10 100 1 (75%) 377,5 m . 1 75% S − =  − Câu 4: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút. Lời giải Tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút là: 20 20 20 1 2 20971500 1 2 S  −     = = − . Câu 5: Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoàng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75% . a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032. b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022? Lời giải
Dân số của thành phố từ năm 2022 lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là 1 0,0075 1,0075 + = Dân số của thành phố vào năm n là: 2022 2,1.1,0075n n u − = a) 2032 2022 2032 u 2,1.1,0075 2,26 − = = b) Khi 2022 2022 2. 1,0075 2 2115 n n u u n − =  =  = Vậy đến năm 2115 , dân số thành phố gấp đôi so với năm 2022 . Câu 6: Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện củ nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9 m. a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba. b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu. Lời giải Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ nhất là 1 u = 9 Độ cao các lần nảy lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là q = 0,6 1 9.0,6n n u − = a) 3 1 3 u 9.0,6 3,24 − = = b) 5 5 5 1 0,6 11,528 1 0,6 S  −     = = − Câu 7: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng. Lời giải Giá trị của chiếc máy ủi mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 3 và công bội q = 0,8 Giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là: 5 1 5 u 3 0,8 0,1875 − =  = (tỷ đồng) Câu 8: Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% . Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030. Lời giải Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội q= 1.0091 Dân số của quốc gia đó năm 2030 (tức n 11 = ) là 11 1 11 u 97 1.0091 106.197 − =  = (triệu người) Câu 9: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở
ngày thứ nhất là 50mg , và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp. Lời giải Lượng thuốc trong máu mỗi ngày cảu bệnh nhân lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 50 và công bội q = 0.5 Tổng lượng thuốc trong máu 10 ngày liên tiếp chính là tổng 10 số hạng đầu cảu cấp số nhân này và bằng: ( ) 10 50 1 (0.5) 99.902 mg 1 0.5 n S   −   = = − Câu 10: Ban đầu, một quả lắc đồng hồ dao động theo một cung tròn dài 46 cm (H. 2.1). Sau mỗi lần đu liên tiếp, độ dài của cung tròn bằng 0,98 độ dài cung tròn ở ngay lần trước đó. a) Độ dài của cung tròn ở lần thứ 10 là bao nhiêu? b) Sau 15 lần dao động, quả lắc sẽ đi được quãng đường tổng cộng là bao nhiêu? (Kết quả tính theo centimét và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Lời giải Gọi n u là độ dài cung tròn ở lần thứ n khi con lắc dao động. Do lần một, quả lắc đồng hồ dao động theo một cung tròn dài 46 cm , sau mỗi lần dao động liên tiếp, độ dài của cung tròn bằng 0,98 độ dài cung tròn ở ngay lần trước đó nên dãy số (un ) lập thành cấp số nhân có 1 u = 46 và công bội q = 0,98 . a) Độ dài của cung tròn ở lần thứ 10 là ( ) 9 9 10 1 u u q = =   46 0,98 38,35 cm . b) Sau 15 lần dao động, quả lắc sẽ đi được quãng đường tổng cộng là ( ) 15 15 15 1 1 1 0,98 46 601,29 cm . 1 1 0,98 q S u q − − = =   − − Câu 11: Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sễ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này? Lời giải Gọi n u là số người bị bệnh ở cuối tuần thứ n . Vì có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo nên dãy số (un ) là một cấp số nhân có 1 u = 5 và công bội q = 4 . Suy ra số người bị ảnh hướng bởi dịch bệnh ở cuối tuần 10 là 9 9 1 1 5 4 1310720 n u u q = =  = (người).