Title Chương 8_Bài 4_ _Đề bài_Toán 11_CTST.pdf ✅

BÀI 4. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng Định nghĩa Chú ý: Ta quy ước : • d M a  , 0  = khi và chỉ khi M thuộc a • d M P  , 0   = khi và chỉ khi M thuộc P Nhận xét: a) Lấy điểm N tùy ý trên đường thẳng a , ta luôn có d M a MN  ,  £ b) Lấy điểm N tùy ý trên đường thẳng P , ta luôn có d M P MN  ,  £ . Ví dụ 1: Cho hình chóp O ABC . có đáy là tam giác đều cạnh a và OA ABC ^   . Cho biết OA a = . a) Tính khoảng cách từ O đến  ABC. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC . Lời giải a) Ta có OA ABC ^   , suy ra d O ABC OA a  ,  = = . b) Vẽ AH BC ^ , ta có OH BC ^ ( định lí ba đường vuông góc ) , suy ra d O BC OH  , .  = Tam giác ABC ddeuf có cạnh bằng a nên suy ra 3 2 a AH = . Trong tam giác vuông OAH , ta có 2 2 2 2 3 7 . 4 2 a a OH OA AH a = + = + = Vậy   7 , . 2 a d O BC =
Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình vuông cạnh a . Biết SA a = và SA ABCD ^  . Cho biế OA a = . a) Tính khoảng cách từ B đến SAD . b) Tính khoảng cách từ Ađến đường thẳng SC . Lời giải a) SA ABCD ^   nên SA AB ^ AB SA AB AD ^ ^ , nên AB SAD ^   Vậy khoảng cách từ B đến (SAD) là AB a = b) Kẻ AK SC ^ Ta có: AC a = 2 SA ABCD ^   nên SA AC ^ Tam giác SAC vuông tại A có: 2 2 2 1 1 1 AK AC SA = + Suy ra: 6 3 a AK = Một quạt trần có bề dày thân quạt bằng 20cm . Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ quạt đến sàn nhà là 2,5m . Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6m . Lời giải Cán quạt dài: 3,6 2,5 0, 2 0,9 m - - =  
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song Định nghĩa Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến b , kí hiệu d a b  , . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng P song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến P , kí hiệu d a P  ,  . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song P và Q là khoảng cách một điểm bất kì trên P đến Q , kí hiệu d P Q  , . Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ có cạnh bằng a . Tính theo a : a) Khoảng cách giữa đường thẳng DD¢ và  AA C C ¢ ¢  ; b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng  AA D D ¢ ¢  và BB C C ¢ ¢  Giải a) Ta có DD AA d DD AA C C d D AA C C ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ // , , ,    =    Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Ta có DO AC ^ và DO AA ^ ¢ , suy ra DO AA C C ^ ¢ ¢  . Vậy       2 , , 2 a d DD AA C C d D AA C C DO ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = = = . b) Ta có  AA D D BB C C ¢ ¢ ¢ ¢ //  suy ra d AA D D BB C C d A BB C C  ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ , ,   =    Do AB BB ^ ¢ và AB BC ^ , suy ra AB BB C C ^ ¢ ¢ . Vậy d AA D D BB C C AB a  ¢ ¢ ¢ ¢ ,  = = . Cho hình lập phương ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ có cạnh bằng a . Tính khoảng cách : a) Giữa hai mặt phẳng  ACD¢ và  A C B ¢ ¢ ; b) Giữa đường thẳng AB và  A B C D ¢ ¢ ¢ ¢ Lời giải
a) Ta có: AC BDD B ^  ¢ ¢ nên AC B D ^ ' ;CD ADC B ' ' ' ^   nên CD B D ' ' ^ Suy ra: B D ACD ¢ ^  ¢ Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ACD', BA'C ' Ta có: AC CD AD a = ¢ = ¢ = 2 nên tam giác ACD¢ là tam giác đều. Tứ giác D.ACD' là hình chóp đều. Suy ra: DG ACD ^   . Mà B D ACD ¢ ^  ¢ nên G B D Î ¢ Tương tự ta có BG A CB G B D ¢ ¢ ^  ¢ ; Î ¢ GG ACD GG A C B ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ^ ^  ,   nên d((ACD'),(A'C'B)) = GG' Tam giác ACD đều có cạnh bằng a 2 , G là trọng tâm nên 6 3 a AG = 2 2 3 3 a DG AD DG = - = Tương tự có 3 3 a B G¢ ¢ = Mà 2 '2 B D BD BB a ¢ = + = 3 Vậy 3 3 a GG B D B G DG ¢ ¢ = - = ¢ ¢ - b) AB A B / / ¢ ¢ nên AB A B C D / / ¢ ¢ ¢ ¢ d AB A B C D d A A B C D AA a  , ,  ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢  = =   ¢ ¢  = 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Định nghĩa Đường thẳng c vừa vuông góc vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b .