Title Chuyên đề 1_Tính đơn điệu và cực trị của hàm số_Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Cho K  R , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. 1. Tính đơn điệu của hàm số a) Định lí Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm trên tập K . Nếu f x( ) 0   (hoặc f x( ) 0   ) với mọi x thuộc K và f x( ) 0  = chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K . b) Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x = ( ) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y f x = ( ) . Bước 2. Tính đạo hàm f x( )  . Tìm các điểm ( 1,2, , ) i x i n =  mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Bước 3. Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số a) Định nghĩa Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên tập K và 0 1 x K x K   , . • 0 x được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng ( ; ) a b chứa điểm 0 x sao cho ( ; ) a b K  và f x f x ( )  ( 0 ) với mọi x a b ( ; ) và 0 x x  . Khi đó, f x( 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là CD f . • 1 x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng ( ; ) c d chứa điểm 1 x sao cho ( ; ) c d K  và f x f x ( )  ( 1 ) với mọi x c d ( ; ) và 1 x x  . Khi đó, f x( 1 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho, kí hiệu là CT f . • Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cục trị (hay cưc trị). Chú ý: Nếu 0 x là một điểm cực trị của hàm số y f x = ( ) thì điểm M x f x ( 0 0 ; ( )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x = ( ) . b) Dấu hiệu nhận biết Giả sử hàm số f x( ) liên tục trên khoảng ( ; ) a b chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên các khoảng (a x; 0 ) và ( x b 0 ; ) . Khi đó • Nếu f x( ) 0   với mọi x a x ( ; 0 ) và f x( ) 0   với mọi x x b ( 0 ; ) thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm 0 x .
• Nếu f x( ) 0   với mọi x a x ( ; 0 ) và f x( ) 0   với mọi x x b ( 0 ; ) thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm 0 x . c) Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số f x( ) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f x( ) . Bước 2. Tính đạo hàm f x( )  . Tìm các điểm ( 1,2, , ) i x i n =  mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Bước 3. Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử toạ độ xt() (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t  0 (giây) được cho bởi công thức: 3 2 x t t t t ( ) 9 15 3. = − + + a) Trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái? b) Khi nào chất điểm chuyển hướng? c) Khi nào vận tốc của chất điểm tăng và khi nào vận tốc của chất điểm giảm? Bài 2. Doanh thu hằng tháng R của một sản phẩm mới trong một khoảng thời gian dự kiến tuân theo hàm logistic: 20000 20000 ( ) , 0, 1 50e 51 t R R t t − = = −  + trong đó thời gian t được tính bằng tháng. a) Tìm tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng R t ( ) . Có nhận xét gì về doanh thu bán hàng hằng tháng? b) Tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng tăng khi nào và giảm khi nào? c) Khi nào tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng đạt mức tối đa? Bài 3. Một nhà phân phối đồ chơi trẻ em xác định hàm chi phí C x( ) và hàm doanh thu R x( ) (đều tính bằng trăm nghìn đồng) cho một loại đồ chơi như sau: 2 C x x x x ( ) 1,2 0,0001 ,0 6000, = −   2 R x x x x ( ) 3,6 0,0005 ,0 6000, = −   trong đó x là số lượng đồ chơi loại đó được sản xuất và bán ra. Xác định khoảng của x để hàm lợi nhuận P x R x C x ( ) ( ) ( ) = − đồng biến trên khoảng đó. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được. Bài 4. Hàm chi phí và hàm doanh thu (đều tính bằng triệu đồng) của một loại sản phẩm lần lượt là C x x ( ) 25,5 1000 = + và R x x ( ) 75,5 = , trong đó x là số đơn vị sản phẩm đó được sản xuất và bán ra. a) Tìm hàm lợi nhuận trung bình ( ) ( ) ( ) R x C x P x x − = . b) Tìm lợi nhuận trung bình khi mức sản xuất x lần lượt là 100, 500 và 1000 đơn vị sản phẩm. c) Xét tính đơn điệu của hàm lợi nhuận trung bình P x( ) trên khoàng (0; ) + và tính giới hạn của hàm số này
khi x → + . Giải thích ý nghĩa thực tiển của kết quả nhận được. Bài 5. Một con lắc lò xo, gồm một vật nặng có khối lượng 1kg được gắn vào một lò xo được cố định một đầu, dao động điều hòa với biên độ A = 0,24 m và chu kì T = 4 giây. Vị trí x (mét) của vật tại thời điểm t được cho bởi xt() = A st cos( )  , trong đó 2 T   = là tần số góc và thời gian t tính bằng giây. a) Tìm vị trí của vaath tại thời điểm t và tại thời điểm t = 0,5 giây. b) Tìm vận tốc v của vật tại thời điểm t giây và tìm vận tốc của vật tại thời điểm t = 0,5 giây c) Tìm gia tốc a của vật. d) Sử dụng Định luật thứ hai của Newton F ma = , tìm độ lớn vá hướng của lực tác dụng lên vật khi t = 0,5 giây e) tìm thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí x = −0,12 m. Tìm vận tốc của vật khi x = −0,12 m. Bài 6. Một vật chuyển động dọc theo một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Glả sử vị trí của vật x (mét) từ thời điểm t = 0 giây đến thời điểm t = 5 giây được cho bởi công thức 3 2 x t t t t ( ) 7 11 5 = − + + . a) Xác định vận tốc v của vật. Xác định khoảng thời gian vật chuyển động sang phải và khoảng thời gian vật chuyển động sang trái. b) Tìm tốc độ của vật và thời điểm vật dừng laih. Tính tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ t =1 giây đến t = 4 giây. c) Xác định gia tốc a của vật. Tìm khoảng thời gian vật tăng tốc vả khoảng thời gian vật gỉam tốc. Bài 7: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t = 0( s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t =126( s) , cho bởi hàm số sau: 3 2 v t t t ( ) 0,001302 0,09029 23 = − + ( v được tính bằng ft / s,1ft 0,3048 m)( = Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi? Bài 8. Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: 2 100 ( ) 1000 , 100 t N t t = + + trong đó t là thời gian tính bằng giây ( 0) t  (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Trong khoảng thời gian nào từ lúc nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên? Bài 9. Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình: 3 2 s t t t t ( ) 6 14 1, = − + + trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Trong khoảng thời gian nào của 5 giây đầu tiên thì vận tốc tức thời của chất điểm tăng lên?
Bài 10. Một chất điểm chuyển động lên, xuống theo phương thẳng đứng. Độ cao ht() của chất điểm tại thời điểm t (giây) được cho bơi công thức: ( ) 1 3 2 ( ) 4 12 1 ; 0 8 . 3 h t t t t t = − + +   a) Viết công thức tính vận tốc của chất điểm. b) Trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động lên, trong thời gian nào chất điểm chuyển động đi xuống? Bài 11. Độ cao (tính bằng mét ) của tàu lượn siêu tốc so với mặt tàu sau t (giây) (0 20)  t từ lúc bắt đầu được cho bởi công thức: 4 49 98 3 2 ( ) 20. 255 85 17 h t t t t = − + − + Trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi xuống, trong khoảng thời gian nào tàu lượn đi lên? Bài 12. Cho điểm A di động trên nửa đường tròn tâm O đường kính MN = 20 cm, MOA = với 0     . Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn và C, D thuộc đường kính MN được xác định sao cho ABCD là hình chữ nhật. Khi A di đông từ trái sang phải, trong các khoảng nào của  thì diện tích của hình chữ nhật ABCD tăng, trong các khoảng nào của  thì diện tích của hình chữ nhật ABCD giảm? Bài 13. Người ta thấy rằng trong vòng 3 năm tính từ đầu năm 2020, giá thành P của một loại sản phẩm vào tháng thứ t thay đổi theo công thức: 3 2 P t t t t ( ) 80 3600 48000 100000 = − + + (đồng) với 0 36.  t Hãy cho biết trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm tăng, trong khoảng thời gian nào giá thành sản phẩm giảm. Giá thành đạt cực đại và cực tiểu vào thời điểm nào? Bài 14. Một cửa hàng ước tính số lượng sản phẩm q q (0 100)   bán được phụ thuộc vào giá bán p (tính bằng nghìn đồng) theo công thức p q + = 2 300 . Chi phí cửa hàng cần chi để nhập về q sản phẩm là 3 2 C q q q q ( ) 0,05 5,7 295 300 = − + + (nghìn đồng). a) Viết công thức tính lợi nhuận I của cửa hàng khi nhập về và bán được q sản phẩm. b) Trong khoảng nào của q thì lợi nhuận sẽ tăng khi q tăng, trong khoảng nào thì lợi nhuận giảm khi q tăng? Bài 15. Thể tích V (đơn vị: centimet khối) của 1 kg nước tại nhiệt độ T C T C (0 30     ) được tính bởi công thức sau: ( ) 2 3 V T T T T = − + − 999,87 0,06426 0,0085043 0,0000679 . (Nguồn: J. Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)