Title 12. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH CHỮ NHẬT.doc ✅

B. Chủ đề 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC. 1. Hình chữ nhật.  Bài 01. (Trích Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa-2015) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm (1;2)H là hình chiếu vuông góc của A trên BD . Điểm 9 ;3 2M   là trung điểm của cạnh BC , phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác là 440xy . Viết phương trình đường thẳng BC . Phân tích và định hướng giải: Bài toán xoay quanh điểm A , giả thiết có tọa độ điểm ,HM tuy nhiên chưa có mối quan hệ nào giữa ba điểm này , khai thác thêm giả thiết cho phương trình trung tuyến kẻ từ A của tam giác AHD do đó “nút thắt” bài toán được gợi mở chính là trung điểm của HD . Dựa vào hình vẽ đặt ra giả thuyết mối quan hệ 3 điểm ,,AKM là AKKM Lời giải: Gọi K là trung điểm của HD . Ta chứng minh AKKM . Thật vậy gọi P là trung điểm của AH . Ta có PK song song và bằng nửa ADPKAB . Mà AHKB do đó P là trực tâm của tam giác ABK BPAK . mà BPKM là hình bình hành nên KM song song BP AKKM Phương trình đường thẳng MK đi qua 9 ;3 2M   và vuông góc với :4xy40AK nên có phương trình 15 40 2xy .Toạ độ điểm K là nghiệm của hệ 4401 1 ;2215 240 22 xy x K xy y        . Do K là trung điểm của HD mà 1;2H nên 0;2D Phương trình đường thẳng BD là 20y . Đường thẳng AH đi qua 1;2H và vuông góc với BD nên có phương trình 10x Suy ra tọa độ điểm 1;0A . Đường thẳng BC đi qua 9 ;3 2M   và song song với AD nên có phương trình là: 2120xy .  Bài 02. (Trích Đề thi thử chuyên Đại học Vinh lần 1-2015)
Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có  ACD với 1 cos 5 , điểm H thỏa mãn điều kiện 2HBHC→→ , K là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD . Cho biết 14;,1;0 33HK    và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh ,,,ABCD . Phân tích và định hướng giải:Vẽ hình phân tích giả thiết ta thấy đây là bài toán mang tính định lượng nhiều hơn. Từ đẳng thức 2HBHC→→ , K là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD hướng cho ta cách nghĩ dùng đồng dạng để xác định mối quan hệ ba điểm ,,AHK từ đó tìm được tọa độ điểm A . Khai thác tiếp giải thiết  ACD với 1 cos 5 , giúp ta định lượng được các yếu tố độ dài đoạn thẳng và sử dụng quan hệ vuông góc trong hình chữ nhật cho ta xác định tọa độ điểm B . Lời giải: Từ giả thiết H thuộc cạnh BC và 2 3BHBC . Vì //BHAD nên 22 33 KHBH HKKA KAAD và ,HKHA →→ cùng hướng nên 5 2HAHK→→ Do đó  152 . 2 323 2;2 4542 . 323 A A A A x x A y y          . Vì tam giác ACD vuông tại D và 1 coscos 5ACD nên 2,5ADCDACCD Đặt 402, 3CDaaADaABaBHa . Trong tam giác ABH ta có 222225125 5 99ABBHAHaa . Suy ra 45 5, 3ABBH * . Giả sử ;Bxy với 0x , từ * ta có   22 22 2253,0 18 1480 , 55 339 xyxy xyktm xy             . Suy ra 3;0B , từ 31;2 2BCBHC→→ .Từ 2;0ADBCD→→ .  Bài 07. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có 2ABAD . Gọi ,NM lần lượt là hai điểm trên ,ABAD thoả mãn AMAN . Các đường thẳng lần lượt đi qua ,AM và
vuông góc với BN cắt đường thẳng BD lần lượt tại 164 ;1,;1 93KH    . Tìm toạ độ các đỉnh ,,,ABCD biết đỉnh A có hoành độ nguyên và thuộc đường thẳng 250xy . Phân tích và định hướng giải: Quan hệ song song trên hình vẽ đã giúp ta có định hướng đến định lí Talet để xác định tỉ số từ đó tìm được hệ thức về mối quan hệ ba điểm ,,DKHD . Với giả thiết hình chữ nhật ABCD có 2ABAD sẽ xác định được tỉ số lượng giác cosBADADA Lời giải: Kéo dài ,AKMH cắt CD lần lượt tại ,EF Ta có //KEHF (vì cùng cuông góc với BN ). Theo Talets ta có: 1DKDE DHDF . Tứ giác AMFE là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh đối song song với nhau, do đó EFAMANDFDEAN 2 Xét hai tam giác vuông ADE và BAN có  DAEABN ( cùng phụ góc ANB ) do đó ADE△ đồng dạng BAN△ suy ra: 13 2 DEAD ANBA .Từ 1,2,3 suy ra: 111 123 1 DKDE ANDHDEAN DE    và ,DKDH →→ cùng hướng nên 1 2DKDH→→ Từ đó suy ra 2;2D . +) Đường thẳng BD đi qua hai điểm ,KH có phương trình là AD 92140xy . Do 2ABAD  22 111 cos 512 1tan BDA BDA   +) Giả sử đường thẳng AD có một vec tơ pháp tuyến là ;ab với 220ab , ta có phương trình: 22222 22 9241 9217643613 16135 85 abba ababaabb ab ab      . TH1: Nếu 1613ab , chọn 13,16:1316580abADxy .
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 22 25045 1316580181 45 x xy xy y          (loại). TH2: Nếu 4ba , chọn 1,4ab thì phương trình :460ADxy Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 25022;1 4601 xyx A xyy    . +) Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc AD nên có phương trình là :470ABxy . Toạ độ điểm B thoả mãn hệ 4700;7 92140 xy B xy    . Do 4;6BCADC→→ . Vậy 2;1,0;7,4;6ABC và 2;2D .  Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh 4;8A . Gọi M là điểm thuộc tia BC thoả mãn 2CMBC , N là hình chiếu vuông góc của B trên DM . Tìm toạ độ điểm B , biết 831 ; 1313N    và đỉnh C thuộc đường thẳng 250xy . Phân tích và định hướng giải: Từ hình vẽ dễ nhận thấy ,,,,ABCND cùng nằm trên đường tròn tâm I . Giả thiết cho tọa độ điểm ,AN và đỉnh C thuộc đường thẳng 250xy nên tham số tọa độ theo t điểm CI từ IAINt Cũng từ tứ giác ADNC nội tiếp nên NACNDC do đó sử dụng ANCDCM△∼△ (g-g), suy ra 333 .23 222 DCAN DCCMCBBC CMNC . Từ đó định lượng được độ dài đoạn thẳng BC và bài toán xem như được giải quyết. Lời giải: Gọi ;25Ctt . Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD , suy ra I là trung điểm của AC và BD . Do đó 423 ; 22 tt I   . Tam giác BDN vuông tại N có I là trung điểm BD nên 1 2INBDIBIA .