Title Математика.pdf ✅

Жұмыс уақыты: 120 минут Әр есептiң дұрыс жауабы 5 ұпай Жаратылыстану-математикалық бағыттағы пәндер бойынша ХVI ПРЕЗЕДЕНТТIК ОЛИМПИАДА Математикадан қорытынды кезең тапсырмалары 1 есеп 1 ден 2023 ке дейiн неше натурал сан 11 ге бөлiнетiн, бiрақ 3-ке де 5-ке де бөлiн. 2 есеп Екi қара пешка бар. Олар 8 × 8 шахмат тақтасының ешқандай екi шаршысында тiгiнен де, көлденеңiнен де, қиғашында да көршiлес болмайтындай орналасты- рылды. Мұны неше түрлi жолмен жасауға болады? 3 есеп (a) P(x) = (︀ x 2 − x − 1 )︀2 − x 3 − 5 көпмүшесiн көбейткiштерге жiктеңiз. (б) (︀ x 2 − x − 1 )︀2 = x 3 + 5 теңдеудi шешiңiз. 4 есеп ABC үшбұрышы берiлген. Бұл үшбұрыштың AB жағында K және L нүкте- лерi, ал AC жағында P және Q нүктелерi суретте көрсетiлгендей таңдалады. PKQLC сынығы бұл үшбұрышты, ауданы бiрдей 5 үшбұрыштарға бөлетiнi бел- гiлi. AP = 120, AK = 720, CB = 353 болса, ABC үшбұрышының периметрiн табыңыз. 120 A 720 B 353 C P K Q L 5 есеп xy2 + x = 2x 2023 + y 2 + 3 теңдеуiнiң барлық бүтiн сан шешiмдерiн табыңыз. Время работы: 120 минут Каждое задание оценивается в 5 баллов XVI ПРЕЗИДЕНТСКАЯ ОЛИМПИАДА по предметам естественно-математического цикла Задания заключительного этапа по математике Задача 1 Сколько натуральных чисел от 1 до 2023 делятся на 11, но не делятся ни на 3, ни на 5 Задача 2 Имеются две чёрные пешки. Их поставили на две клетки шахматной доски 8 × 8 так, чтобы эти клетки не были соседними ни по вертикали, ни по горизонтали, ни по диагонали. Сколькими различными способами можно это сделать? Задача 3 (a) Разложите многочлен P(x) = (︀ x 2 − x − 1 )︀2 − x 3 − 5 на множители. (б) Решите уравнение (︀ x 2 − x − 1 )︀2 = x 3 + 5. Задача 4 Дан треугольник ABC. На стороне AB этого треугольника выбраны точки K и L, а на стороне AC выбраны точки P и Q, как показано на рисунке. Оказалось, что ломаная PKQLC делит этот треугольник на 5 треугольников равной площади. Известно, что AP = 120, AK = 720, CB = 353. Найдите периметр треугольника ABC. 120 A 720 B 353 C P K Q L Задача 5 Найдите все решения уравнения xy2 + x = 2x 2023 + y 2 + 3 в целых числах.