Title Chương 6_Bài 2__Lời giải_Toán 12_CD.pdf ✅

BÀI 2: CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN, CÔNG THỨC BAYES Câu hỏi khởi động trang 97 Toán 12 Tập 2: Dây chuyền lắp ráp ô tô điện gồm các linh kiện là sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra chiếm 55% tổng số linh kiện, số linh kiện nhà máy II sản xuất ra chiếm 45% tổng số linh kiện; tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của nhà máy I là 90%, của nhà máy II là 87%. Lấy ngẫu nhiên ra một linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó để kiểm tra. Xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là bao nhiêu? Lời giải Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau: Xét hai biến cố sau: A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn”; B: “Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất”. Khi đó, ta có: ( ) 0,55; 1 1 0,55 0,45; ( )   = = − = − =     P B P B P B ( ) 0,9; 0,87.   = =     P A B P A B ∣ ∣ Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: P A P B P A B P P A 0,55 0,9 0,45 0,87 0,8865. ( ) ( ) ( )     =  +  =  +  =         ∣ ∣ B B Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❶. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN Hoạt động 1: Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2,3, ,24  ; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biết cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3 " và biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4 . a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A,B,A B  , A B  (Hình 1).
Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: P A P A B P ( ) =  +  ( ) ( A B) . c) So sánh: P A B (  ) và P B P A B ( ) ( ∣ ) ; P và P P A . ( A B B   ) (B) ( ∣ ) Từ đó, hãy chứng tỏ rằng: P A P B P A B P P A ( ) =  +  ( ) ( ∣ ∣ ) (B) ( B). Lời giải a) Ω 1; 2;3; ; 24 =    . A = 3;6;9;12;15;18;21;24 . B = 4;8;12;16;20;24. A B  = 12;24. B = 1;2;3;5;6;7;9;10;11;13;14;15;17;18;19;21;22;23. A B  = 3;6;9;15;18;21. b) Từ câu a), suy ra n A n A B n A B ( ) =  =  = 8, 2, 6 ( ) ( ) . Do 8 2 6 = + nên n A n A B n A B ( ) =  +  ( ) ( ) . Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A Ω Ω Ω Ω  +    = = = + n A n A B n A B n A B n A B n n n n . Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B ;P Ω Ω    =  = n A B n A B A B n n . Vậy P A P A B P ( ) =  +  ( ) ( A B) . c) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B P A B P B P A B ( )   =  =  P A B P B ∣ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P A P P( )   =  =  P A B B P B B B ∣ A B . Vì hai biến cố A B  và A B  là hai biến cố xung khắc và (A B A    = ) ( A B) nên theo công thức xác suất ta có
P A P A B P P B P A B P P A . ( ) =  +  =  +  ( ) ( A B B ) ( ) ( ∣ ∣ ) (B) ( ) Định Nghĩa: Cho hai biến cố AB, vởi 0 P 1   (B) , ta có: P P P P P P P ( A A B A B B B ) =  +  =  +  ( ) ( ) ( ) ( A A B ∣ ∣ ) (B) ( ) Ví dụ 1: Theo một số liệu thống kê, năm 2004 ở Canada có 65% nam giới là thừa cân và 53,4% nữ giới là thừa cân. Nam giới và nữ giởi ờ Canada đều chiếm 50% dân số cả nược. Hỏi rằng, trong năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu? Lời giải Xét hai biến cố sau: A: "Người được chọn ra là người thừa cân"; B : "Người được chọn ra là nam giởi" (biến cố B : "Người được chọn ra là nữ giơi"). Từ giả thiết ta có: P P 50% 0,5;P 65% 0,65;P 53,4% 0,534 (B A B A ) = = = = = = = (B) ( ∣ ∣ ) ( B) Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: P P P P P 0,5 0,65 0,5 0,534 0,592 ( A B A B A ) =  +  =  +  = ( ) ( ∣ ∣ ) (B) ( B) Vậy xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng 0,592 . Nói cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là 59,2% . Ví dụ 2: Một hộp có 60 viên bi màu xanh và 40 viên bi màu đỏ; các viên bi có kích thược và khối lượng như nhau. Sau khi thống kê, người ta thấy: có 50% số viên bi màu xanh có dán nhã̃và 75% số viên bi màu đỏ có dán nhãn; những viên bi còn lại không dán nhãn. a) Chọn số thích hợp cho ? trong Bảng 3 (đơn vị: viên bi). b) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Sử dụng công thức xác suất toàn phẩn, tính xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn. Lời giải a) Số viên bi màu đỏ có dán nhãn là: 75% 40 30  = (viên bi). Số viên bi màu xanh có dán nhãn là: 50%.60 30 = (viên bi).
Sau khi hoàn thiện Bảng 3, ta nhận được Bảng 4 (đơn vị: viên bi). b) Xét hai biến cố sau: A: "Viên bi được chọn ra có dán nhãn"; B : "Viên bi được chọn ra có màu đỏ". Khi đó, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 40 2 2 3 P ; P 1 P 1 100 5 5 5 30 3 30 1 P ; P 40 4 60 2 = = = − = − = = = = = B B A B ∣ ∣ B A B Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 3 P P P P P 5 4 5 2 5 A B A B A B =  +  =  +  = ∣ ∣ B Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn bằng 3 5 . Luyện tập 1: Hãy giải bài toán trong phần mở đầu bằng cách lập bảng thống kê như trong Ví dụ 2, biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10000 linh kiện. Lời giải Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra là: 55% 10000 5500  = (linh kiện). Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra là: 45% 10000 4500  = (linh kiện). Số linh kiện nhà máy I sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: 90% : 500 4950 = (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: 5500 4950 550 − = (linh kiện). Số linh kiện nhà máy II sản xuất ra đạt tiêu chuẩn là: 87% 4500 3915  = (linh kiện), không đạt tiêu chuẩn là: 4500 3915 585 − = (linh kiện). Từ đó ta có bảng thống kê như sau (đơn vị: linh kiện) Xét hai biến cố sau: A: “Linh kiện được chọn ra đạt tiêu chuẩn"; B: "Linh kiện được chọn ra do nhà máy I sản xuất". Khi đó, ta có: P B 0,55;P 1 P B 1 0,55 0,45;P A B 0,9;P A 0,87 ( ) = = − = − = = = (B) ( ) ( ∣ ∣ ) ( B) . Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: P A P B P A B P P A 0,55 0,9 0,45 0,87 0,8865 ( ) =  +  =  +  = ( ) ( ∣ ∣ ) (B) ( B) Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn bằng 0,8865.