Title Chương 7_Bài 2_ _Lời giải_Toán 11_CD.docx ✅

BÀI 2. CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1. Đạo hàm của hàm số (,1)nyxnnℕ a) Tính đạo hàm của hàm số 2yx tại điểm 0x bất kì bằng định nghĩa. b) Dự đoán đạo hàm của hàm số nyx tại điểm x bất kì. Lời giải a) + Xét x là số gia của biến số tại điểm 0x . Ta có: 00yfxxxf 0 22 0 2 002..2xxxxxxxxx . Suy ra: 02yxx x    . + Ta thấy: 00 00 limlim22 xx xxy x x    . Vậy 002xfx . b) Dự đoán đạo hàm của hàm số nyx tại điểm x bất kì là: 1nn yxynx Hàm số (,1)nyxnnℕ có đạo hàm tại mọi xℝ và 1nnxnx. Nhận xét: Bằng định nghĩa, ta chứng minh được: - Đạo hàm của hàm hằng bằng 0:()0c với c là hằng số; - Đạo hàm của hàm số yx bằng 1:()1x . Ví dụ 1. Cho hàm số 10()fxx . a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì. b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm 01x . Lời giải a) Ta có: 109()10fxxx . b) Đạo hàm của hàm số tại điểm 01x là: 9(1)10.110f . 1. Cho hàm số 22yx. a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì. b) b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm 01x . Lời giải
a) Ta có: 2122yx b) Đạo hàm của hàm số tại điểm 01x là: 21'122(1)22f 2. Đạo hàm của hàm số yx Tính đạo hàm của hàm số yx tại điểm 01x bằng định nghĩa. Lời giải b) Với Δx là sõ gia của đối số 01x . Khi đó hàm sỗ sỗ gia tương ứng:     Δ0Δ0 Δ0 Δ0 Δ0 Δ1Δ1Δ Δ1Δ Ta có: limlim ΔΔ 1Δ1 lim Δ1Δ Δ lim ΔΔ 111 lim 2 11 1 1 1 11 1111Δ xx x x x yfxfx yx f xx x xx x xx x                 Hàm số yx có đạo hàm tại mọi ,0xxℝ và 1 () 2x x  . Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số ()fxx tại điểm 04x Lời giải Ta có: 1 () 2fx x  với 0x . Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm 04x là: 11 (4) 424f . 2. Tính đạo hàm của hàm số ()fxx tại điểm 09x . Lời giải Ta có: 1 () 2fx x  với 0x . Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm 09x là: 6 11 (9) 29f . 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
Sử dụng kết quả 0 sin lim1 x x x , tính đạo hàm của hàm số sinyx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa. Lời giải Giả sử Δx là số gia của đối số 0x . Ta có: 00000ΔΔΔΔsinΔsin2cossin 22 xx yfxxfxxxxx    ; 0 Δ sin ΔΔ2 cos ΔΔ2 2 x yx x xx     Do đó 0 00 Δ sin ΔΔ2 limlimcos ΔΔ2 2 xx x yx x xx     . Vì 0 Δ sin 2 lim1 Δ 2 x x x nên 0 00 ΔΔ limlimcoscos Δ32xx yx x x       . Vậy 00cos fxx . Hàm số sinyx có đạo hàm tại mọi xℝ và (sin)cosxx. Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số ()sinfxx tại điểm 03x  . Lời giải Ta có: ()cosfxx . Đạo hàm của hàm số trên tại điểm 03x  là: 1 cos. 332f    3. Tính đạo hàm của hàm ()sinfxx tại điểm 0. 2x  Lời giải Ta có: ()cosfxx . Đạo hàm của hàm số trên tại điểm 02x  là: cos0. 22f    Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số cosyx tại điểm x bất kì.
Lời giải Giả sử Δx là số gia của đối số x . Ta có: ΔΔΔΔcosΔcos2sinsin 22 xx yfxxfxxxxx    Δ0Δ0 ΔΔΔΔ 2sinsinsinsin Δ2222 ΔΔΔ 2 ΔΔ sinsin Δ22 limlimsin ΔΔ 2 xx xxxx xx y xxx xx x y x xx           Vậy sinfxx . Hàm số cosyx có đạo hàm tại mọi xℝ và (cos)sinxx. Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số ()cosfxx tại điểm 06x  . Lời giải Ta có: ()sinfxx . Đạo hàm của hàm số trên tại điểm 06x  là: 1 sin 662f    4. Một vật dao động theo phương trình ()cosfxx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm 02( s)x Lời giải Để tính vận tốc của vật dao động tại một thời điểm xác định, ta cần lấy đạo hàm của hàm fx theo x tại thời điểm đó Có sinfxx Đạo hàm của hàm số trên tại điểm 02( s)x là: 2sin2f