Title TACH DE HSG 6 CHU DE 3 TINH CHAT CHIA HET TRONG TAP HOP STN PHAN 3.pdf ✅

CHỦ ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN A. PHẦN NỘI DUNG I. Quan hệ chia hết và tính chất. Dạng 1: Chứng minh chia hết. Bài 1: Cho biểu thức 2 3 2009 2010 A      2010 2010 2010 ..... 2010 2010 Chứng minh rằng A chia hết cho 2011 Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019 Lời giải         2 3 4 2009 2010 3 2009 3 2009 2010 2010 2010 2010 ...... 2010 2010 2010. 1 2010 2010 . 1 2010 ...... 2010 . 1 2010 2011. 2010 2010 ...... 2010 2011 2011 A A A A                    Bài 2: Chứng minh rằng 100 99 B    3.10 10 8 chia hết cho 24 . Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có:   100 99 99 99 99 0 98 0 3.10 10 8 10 . 3.10 1 8 10 .31 8 310....0 8 310...008 8 chu so chuso B            Mặt khác:   100 99 100 9 100 0 98 0 100 0 9 98 0 30...0 10...8 30...0 3;10...8 3 3 3.10 10 8 3.10 10 8 chuso chuso chuso chuso B Vi nen B         Do (3, 8) = 1 nên 100 99 (3.10 10 8) (3.8)   Suy ra B 24 Bài 3: Cho 2 3 20 M      2 2 2 ..... 2 a) Chứng tỏ rằng M 5 b) Tìm chữ số tận cùng của M Trích đề HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2016 - 2017 Lời giải             2 3 20 2 3 4 17 18 19 20 2 3 17 2 3 17 17 ) 2 2 2 .... 2 2 2 2 2 ..... 2 2 2 2 2. 1 2 2 2 .....2 . 1 2 2 2 15. 2 ..... 2 5.3. 2 ..... 2 5 a M                             b) Dễ thấy M M M M 2; 5 10   tận cùng bằng chữ số 0 Bài 4: Chứng tỏ rằng   2021 2020 2 M        75. 4 4 .... 4 4 1 25 chia hết cho 100 . Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2021 - 2022 Lời giải Đặt 2021 2020 2 S M S          4 4 ... 4 4 1 75. 25 Ta có 2021 2020 2 2022 2021 3 2 S S              4 4 ... 4 4 1 4 4 4 ... 4 4 4
Do đó 2022 2022 4 1 4 4 1 3 S S S       . Suy ra   2022 4 1 2022 2022 2021 75. 25 75. 25 25. 4 1 25 25.4 100.4 3 M S           Suy ra M 100 Bài 5: Chứng minh rằng: 28 10 8  chia hết cho 72 Trích đề HSG huyện Thanh Oai năm 2017-2018 Lời giải Vì 28 10 8  có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9 Lại có 28 10 8  có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên tổng đó chia hết cho 8, mà 8,9 1   nên 28 10 8  chia hết cho 72. Bài 6: Cho biết a b  4 chia hết cho 13 a b, .   Chứng minh rằng 10  b chia hết cho 13 Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019 Lời giải 4 13 10 40 13 10 39 13 39 13 10 13 a b a b a b b b a b         Bài 7: Chứng tỏ: 5 15 S   16 2 chia hết cho 33 Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019 Lời giải Có     5 5 15 4 15 20 15 15 5 15 S          16 2 2 2 2 2 2 . 2 1 2 .33 Nên S chia hết cho 33 Bài 8: Chứng tỏ rằng: 2 3 4 5 11 12 A        2 2 2 2 2 ..... 2 2 chia hết cho 7 Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018-2019 Lời giải         2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         2 4 2 7 2 10 2 A             2. 1 2 2 2 1 2 2 2 . 1 2 2 2 . 1 2 2   4 7 10 A     7. 2 2 2 2 Suy ra A chia hết cho 7. Bài 9: Cho 1 3 5 2011 2013 2015 S        3 3 3 ..... 3 3 3 . Chứng tỏ: a) S không chia hết cho 9 b) S chia hết cho 70 Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019 Lời giải a) 2 5 2011 2013 2015 3 3 ..... 3 3 3      chia hết cho 9; 3 không chia hết cho 9  S không chia hết cho 9 b)     2 4 2011 2 4 S        3 1 3 3 ..... 3 1 3 3 (do S có 1008 số hạng) 2011 S    3.91 .... 3 .91 Ta thấy S chia hết cho 91 nên S chia hết cho 7 91 7.13       2 2013 2 S      3. 1 3 ..... 3 1 3 (Do S có 1008 số hạng) 2011 S    3.10 .... 3 .10

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3 . Ta có        2 2 p p         1 1 1 1 1 1 p p p p  p p p    Do p là số lẻ nên p k2 1 . Khi đó    2 p k k       1 2 1 1 2 1 1     4 . 1 8 k k k   Mặt khác, ta thấy rằng p –1, p , p 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong ba số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 mà p không chia hết cho 3 nên p 1 hoặc p 1 chia hết cho 3 . Do đó    2 p p p     1 1 1 chia hết cho 3 . Mà 3;8 1 nên 2 p 1 chia hết cho 24 (đpcm) . Bài 14: a) Tìm hai số tự nhiên x y , sao cho 2 1 . 5 12 x y       . b) Tìm tất cả các số B  62 427 xy biết rằng số B chia hết cho 99 . Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015-2016 Lời giải a) Tìm hai số tự nhiên x y , sao cho 2 1 . 5 12 x y       . Ta có : 2 1 . 5 12 x y       Nên 2 1 x  và y 5 là ước của 12 . Mà 12 1.12 2.6 3.4    Vì 2 1 x  là số lẻ 2 1 1 x   hoặc 2 1 3 x   Ta có: 2 1 x  1 3 y 5 12 4 x 0 1 y 17 9 Vậy:  x y; 0;17 ; 1;9     . b) Tìm tất cả các số B  62 427 xy biết rằng số B chia hết cho 99 . Vì số B chia hết cho 99 nên sẽ chia hết cho 9 và 11 Số B đó có tổng chữ số là: 6 2 4 2 7 21          x y x y sẽ chia hết cho 9 . Mà x y  19 Có 21 chia 9 dư 3 suy ra x y   6 hoặc x y  15 Để B chia hết cho 11 thì 7 4 6 2 2 11        x y k    hay 13 11 2    x y k   k N   (Một số chia hết cho 11 thì tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn là bội của 11 ) . Để B chia hết cho 11 thì y x   2 hay y x   2 Có 2 trường hợp xảy ra Trường hợp 1: x y   6 và y x   2 Thay y x   2 vào x y   6 ta được x x    2 6 2 4 x 