Title Bài 2.2_Cấp số cộng_Lời giải.pdf ✅

1 BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cấp số cộng Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:   * 1 . n n u u d n     Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nhận xét: Nếu un  là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:   1 1 2 2 k k k u u u k      . 2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng Định lí 1 Nếu một cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u và công sai d thì số hạng tổng quát n u của nó được xác định bởi công thức: u u n d n n     1  1 , 2.  3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng Định lí 2 Giả sử un  là một cấp số cộng có công sai d . Đặt n n 1 2 S u u u    , khi đó  1  2 n n n u u S   2 1 1   hay . 2 n n u n d S        B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Nhận dạng 1 dãy số là cấp số cộng 1. Phƣơng pháp Sử dụng định nghĩa un  là một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 , n n u u d    với d là một hằng số. Để chứng minh dãy số un  là một cấp số cộng, ta xét n n 1 d u u     Nếu d là hằng số thì un  là một cấp số cộng với công sai d.  Nếu d phụ thuộc vào n thì un  không là cấp số cộng. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2020 2021. n u n   b) Dãy số un  với 2 5. n u n    Lời giải


4 Ví dụ 4: Cho cấp số cộng un  thỏa mãn 2 8 9 15 u u u u    100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Lời giải Ta có 2 8 9 15 1 1 u u u u u d u d           100 4 30 100 2 15 50. Khi đó 16 1 16 1     16 8 2 15 8.50 400 2 S u u u d       Ví dụ 5: Cho cấp số cộng un  có công sai d  3 và 222 2 3 4 uuu   đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 100 S của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Lời giải Đặt 1 a u  thì         2 2 2 2 2 2 2 2 u u u a d a d a d a a a 2 3 4                2 3 3 36 126 3 6 18 18 với mọi a . Dấu bằng xảy ra khi a a     6 0 6 .Suy ra 1 u  6 . Ta có 1   100 100. 2 100 1 14250 2 u d S          . Ví dụ 5. Biết 4 8 12 16 u u u u     224. Tính 19 S . Hƣớng dẫn giải Ta có 4 8 12 16 u u u u     224 1 1 1 1 1 1                u d u d u d u d u d u d 3 7 11 15 224 4 36 224 9 56. Ta có 19 1 1     19 2 18 19 9 19.56 1064. 2 S u d u d       Dạng 4: Giải phƣơng trình ( tìm x trong cấp số cộng) 1. Phƣơng pháp Ba số abc , , (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a c b   2 . Sử dụng các tính chất của cấp số cộng 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho các số 4;1;6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x. Lời giải. Vì các số 4;1;6; x theo thứ tự 1 2 3 4 u u u u , , , lập thành cấp số cộng nên 4 3 3 2 u u u u x x          6 6 1 11 Ví dụ 2: Nếu các số 5 ; 7 2 ; 17    m m m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? Lời giải. Ba số 5 ; 7 2 ; 17    m m m theo thứ tự 1 2 3 u u u , , lập thành cấp số cộng nên u u u m m m m 1 3 2           2 5 17 2 7 2 4       Nhận xét: Ta có thể dùng tính chất 3 2 2 1 u u u u    . Ví dụ 3: Với giá trị nào của x và y thì các số 7; ; 11; x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? Lời giải.