Title °SMI3 TD Cours Probabilités statistiques FSO-OUAJDA 20-21.pdf ✅

UNIVERSITE MOHAMED I Faculté des sciences Département de Mathématique Oujda Notes de Cours de Probabilités K. TAHRI SMI (S3) Année Universitaire 2020 – 2021
Table des matières Introduction 5 1 Analyse Combinatoire 6 1.1 La règle de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Arrangement, Permutation et Combinaison sans répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Arrangement, Pérmutation et Combinaison avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Arrangement avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Permutation avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Combinaison avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Eléments de calcul de Probabilités 12 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Espace fondamental, Événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.3 Opérations sur les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Tribu d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5.1 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Variables Aléatoires discrètes 21 3.1 Introduction et Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Loi d’une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Quelques paramètres associés à une v.a.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4.1 Espérance mathématique d’une v.a.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4.2 Variance d’une v.a.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5 Couple de v.a.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2
Notes de cours -Probabilités-SMI(S3) Sept-Déc 2020 3 4 Lois de probabilités discrètes usuelles 31 4.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.6 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 Variables Aléatoires réelles 39 5.1 Introduction et Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2 Loi d’une v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3 Fonction de répartition et densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3.2 Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4 Quelques paramètres associés à une v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.4.1 Espérance d’une v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.4.2 Variance d’une v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6 Lois de probabilités continues usuelles 46 6.1 Loi uniforme sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.3 Loi de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.4 Loi Normale ou de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.5 Couple de v.r., Indépendance et Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.6 Couple de v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.7 Densité de probabilité d’un couple aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.8 Indépendance de v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7 Notions de Convergences de v.a.r. 50 7.1 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.1.1 Inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.2 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.3 Loi des Grands Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.5 Théorème de la limite centrale, (TLC) ou (TCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8 Estimation 55 8.1 Introduction et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.2 Propriétés d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.2.1 Biais d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.3 Estimateur ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.3.1 Estimateur de la moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.3.2 Estimateur d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8.3.3 Estimateur de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8.4 Estimation par interval de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.4.1 Estimateur de la moyen par interval de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8.4.2 Niveau de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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