Title Chương 5_Bài 2_ _Lời giải_Toán 9_CTST.pdf ✅

BÀI 2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Định nghĩa Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) : - Không có điểm chung thì ta nói a và (O) không giao nhau. - Có duy nhất một điểm chung C thì ta nói a tiếp xúc với (O) tại C , khi đó a là tiếp tuyến của đường tròn (O) và C là tiếp điểm. - Có hai điểm chung A, B thì ta nói a cắt (O) , a là cát tuyến của đường tròn (O) và A, B là hai giao điểm. Nhận xét: Cho đường tròn (O;R) . Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (Hình 2). Ta có kết quả sau: - Đường thẳng a và đường tròn (O;R) không giao nhau khi d R> . - Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R) khi d R= . - Đường thẳng a cắt đường tròn (O;R) khi d R< . Ví dụ 1. Cho đường thẳng b và một điểm I cách b một khoảng d 6 cm = . Xác định vị trí tương đối của b với các đường tròn sau: a) Đường tròn I;3 cm ; b) Đường tròn I;6 cm; c) Đường tròn I;8 cm . Lời giải a) Ta có d R = = 6 cm, 3 cm. Vì d R> nên b và đường tròn I;3 cm không giao nhau. b) Ta có d 6 cm, R 6 cm = = . Vì d R= nên b tiếp xúc với đường tròn (I;6 cm). c) Ta có d 6 cm, R 8 cm = = . Vì d R< nên b cắt đường tròn I;8 cmtại hai điểm. Ví dụ 2. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a một khoảng 8 cm . Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 10 cm.
a) Giải thích vì sao a và (O) cắt nhau. b) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O;10 cm) . Tính độ dài của dây MN. Lời giải a) Vẽ OH vuông góc với a tại H . Ta có OH 8 cm, R 10 cm = = , suy ra OH R< , suy ra a cắt (O;10 cm) tại hai điểm. b) Do M, N thuộc O nên ta có OM ON R = = , suy ra tam giác OMN cân tại O, có OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Do đó, H là trung điểm của dây MN . Trong tam giác OMH vuông tại H , ta có 2 2 2 2 MH OM OH 10 8 6( cm), = - = - = suy ra MN 2MH 2 6 12( cm). = = × = 2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Ta có dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Ví dụ 3. Cho đường tròn (O;2 cm) và điểm M nằm trên (O) . Nêu cách dựng tiếp tuyến d với (O) tại M . Lời giải Ta vẽ đường thẳng d vuông góc với bán kính OM tại điểm M (Hình 6), khi đó d là tiếp tuyến với (O) tại M . Chú ý: Ta có các tính chất của tiếp tuyến như sau: - Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. - Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.
Ví dụ 4. Một thuỷ thủ đang ở trên cột buồm của một con tàu, cách mặt nước biển 10 m. Biết bán kính Trái Đất là khoảng 6400 km. Tính tầm nhìn xa tối đa của thuỷ thủ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn). Lời giải Trên Hình 7 , ta có điểm B biểu diễn vị trí con tàu, điểm A biểu diễn vị trí của thuỷ thủ, điểm C biểu diễn điểm xa nhất mà thuỷ thủ nhìn thấy. Khi đó độ dài đoạn thẳng AC gọi là tầm nhìn xa tối đa từ A . Đặt h AB R OB OC = = = , . Ta tính AC theo R và h . Do AC là tiếp tuyến với O;R tại C nên suy ra AC OC ^ . Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ACO vuông tại C, ta có: 2 2 2 2 2 2 AC AO OC (R h) R 2Rh h . = - = + - = + Suy ra 2 2 AC = + = × + » 2Rh h 2.6400 0,01 0,01 11,314( km). Vậy tầm nhìn xa tối đa của thuỷ thủ đó là khoảng 11,314 km. Chú ý: Nếu h rất nhỏ so với R thì 2 2Rh h 2Rh + » . Khi đó AC 2Rh 6400 2 h 80 2 h » » × = . Đây là công thức tính nhanh tầm nhìn xa tối đa ứng với độ cao h . Chẳng hạn, với tình huống trong Ví dụ 4 ta có tầm nhìn xa tối đa của thuỷ thủ là: 80 2 h 80 2 0,01 11,314( km). = × » 3. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU Định lí Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. Ví dụ 5. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) . Vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm B và C . a) Chứng minh AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O;R) . b) Chứng minh AB AC = . c) Xác định tia phân giác của BAC  và BOC . Lời giải
a) Gọi M là trung điểm của AO . Ta có M là tâm của đường tròn đường kính AO , suy ra AO MB MC 2 = = . Do đó, tam giác ABO vuông tại B và tam giác ACO vuông tại C . Vì AB vuông góc với bán kính OB tại B và AC vuông góc với bán kính OC tại C nên AB và AC là hai tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C . b) Giao điểm A của hai tiếp tuyến AB, AC cách đều hai tiếp điểm B và C nên AB AC = . c) Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A , suy ra tia AO là phân giác của BAC  và tia OA là phân giác của BOC . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Trong Hình 14, AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B . a) Tính bán kính r của đường tròn (O) . b) Tính chiều dài cạnh OA của tam giác ABO . Lời giải a) Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại B nên AB OB ^ tại B . Xét VOAB vuông tại B , theo định lí Pythagore, ta có: 2 2 2 OA OB AB = + Suy ra 2 2 2 ( ) OB AB OC CA + = + . Do đó 2 2 2 ( 2) 4 r r + = + . (*) Giải phương trình (*) : 2 2 2 ( 2) 4 r r + = + 2 2 r r r + + = + 4 4 16 4 12 r = r = 3 Vậy bán kính của đường tròn (O) là r = 3. b) Ta có OA OC CA r = + = + = + = 2 3 2 5( cm) . Vậy OA = 5 cm. 2. Trong Hình 15, MB, MC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B,C ; COB 130  ° = . Tính số đo CMB .