Title Mục 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC.pdf ✅

Chương I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Mục 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC Kiến thức cơ bản bắt buộc phải nhớ 1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền: 2 2 b  a.b;c  a.c 2. Một số hệ thức liên quan đến đường cao Định lí 2: Trong một tam giác vuông bình phương đường cao ứng với cạnh huyền, bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền 2 h  b.c Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng b.c  a.h Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông 2 2 2 1 1 1 h b c   BÀI TẬP Bài 1: (1/68/SGK T1) Hãy tìm x, y trong mỗi hình sau: x  y  20 Giải a) Muốn tính được x, y trong hình a, ta phải tính được độ dài của cạnh huyền BC. Muốn tính được độ dài của cạnh huyền BC ta sử dụng định lí Py-ta-go ABC vuông ở A (giả thiết) có nên AB  6; AC  8 (Định lí Py-ta-go) 2 2 2 BC  AB  AC 2 2 2 BC  6  8  36  64 100  BC  100 10 x là độ dài của đoạn BH. BH là cạnh góc vuông của vuông AHB tại H.
Muốn tính độ dài x, ta phải tính được độ dài đường cao AH của vuông AHB tại H. Do vuông AHB tại H nên AH là cạnh góc vuông của tam giác này ABH có (định lí Py-ta-go) mà AB lại là cạnh góc vuông của vuông tại 2 2 2 AB  AH  HB ABC A nên AB.AC  BC.AH . 6.8 48 4,8 10 10 AB AC AH BC      AHB vuông tại H nên 2 2 2 AB  AH  BH 2 2 2 2  BH  AB  AH  6  (4,8)  36  23,04 13,96  BH  3,6  HC 10  3,6  6,4 Vậy và x  3,6 y  6,4 b) Tính x MNK vuông tại M (giả thiết) nên (Theo định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình 2 MN  NI.NK phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền) 2 2 12 144 7,2 20 20 MN NI NK       IK  20  NI  20  7,2 12,8 Vậy và x  7,2 y 12,8 Bài 2: (2/68/SGK T1) Tính x, y trong hình 5. GT  ABC (A  90) AH  BC BH 1;HC  4 KL AB  x  ? AC  y  ? Hình 5 Giải ABC vuông tại A (giả thiết), biết cạnh huyền BC có độ dài là . 1 4  5 Hình chiếu của cạnh góc vuông AB trên cạnh huyền BC là . Hình BH 1 chiếu của cạnh góc vuông AC trên cạnh huyền BC là đoạn . HC  4 Sử dụng kiến thức cơ bản nào để tính được số đo của cạnh góc vuông AB và số đo của cạnh góc vuông AC? Muốn tính được số đo của cạnh góc vuông AB và AC ta phải sử dụng định lí 1: Trong một tam giác vuông bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. Do đó ta có: . 2 AB  BC.BH  (1 4).1  5.1  5  AB  5  x  5
Tương tự ta có . 2 AC  BC.HC  (1 4).4  5.4  20  y  20 Bài 3: (3/69/SGK T1) Tính x, y trong hình 6. GT  ABC (A  90) AH  BC AB  5; AC  7 KL AH  x  ? BC  y  ? Hình 6 Giải ABC vuông tại A (giả thiết) có và . Ta AB  5 AC  7 phải tính số đo của cạnh huyền BC. Muốn tính số đo các cạnh của một tam giác vuông, cách tính được sử dụng nhiều nhất là: Sử dụng định lí Py-ta-go. ABC vuông tại A nên 2 2 2 2 2 BC  AB  AC  5  7  25  49  74  BC  74 . Vậy . y  74  8,6 Ta còn phải tính độ dài của đường cao AH thuộc cạnh huyền BC. Cách 1: Theo định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. Do đó ta có: . .AC 5.7 35 35 74 . . 74 74 74 AB AB AC BC AH AH BC       Cách 2: Áp dụng định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền, bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông. Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 AH AB AC 5 7 25 49       . 2 2 2 2 2 5 .7 25.49 1225 16,55 16, 25 5 7 25 49 74  AH      AH    Vậy vuông ABC tại A có . AH  x  16,25;BC  y  74 Bài 4: (4/69/SGk T1) Tính x, y trong hình 7. GT  ABC (A  90) AH  BC
AH  2;BH 1 KL HC  x  ? AC  y  ? Giải Muốn tính được độ dài của cạnh góc vuông AC và hình chiếu của nó trên cạnh huyền BC, là phải tính được độ dài hình chiếu HC trên BC. Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phuơng đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Ta có: . 2 2 4 . 2 1. 4 1 AH  BH HC   x  x   Tính y. Cách 1: Dùng định lí 1 để tính y. Ta có: 2 AC  BC.HC  (1 4).4  5.4  20  AC  y  20 . Cách 2: Dùng định lí Py-ta-go. AHC vuông tại H nên 2 2 2 2 2 AC  AH  HC  2  4  4 16  20  AC  y  20 . Bài 5: (5/69/SGK T1) Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền. Giải GT  ABC (A  90) AB  3; AC  4 AH  BC (HBC) KL AH  ? HB  ? HC  ? Muốn tính được độ dài đường cao AH và các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền BC, ta phải tìm các kiến thức cơ bản nói về mối quan hệ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các cạnh của tam giác vuông. ABC vuông tại A (giả thiết) nên (Định lí Py-ta-go) 2 2 2 BC  AB  AC . 2 2  3  4  9 16  25  BC  25  5 Theo định lí 3: Trong một tam giác vuông, tính hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. Do đó ta có: . . 3.4 12 . . 2,4 5 5 AB AC AB AC BC AH AH BC       Vậy đường cao AH có độ dài là . 2,4 Tính HB và HC.