Title TOÁN-12_C1_BAI 1_DON DIEU-CUC-TRI_TOÁN THỰC TẾ_HDG.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Page 1 Sưu tầm và biên soạn I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT. I = = = I I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Khái niệm tính đợn điệu của hàm số. Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và ()yfx= là hàm số xác định trên K . +) Hàm số ()yfx= được gọi là đồng biến trên K nếu 121212, , ()().xxKxxfxfx"Î<Þ< +) Hàm số ()yfx= được gọi là nghịch biến trên K nếu 121212, , ()().xxKxxfxfx"Î<Þ> +) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên .K Chú ý: + Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên. + Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống.
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Page 2 Sưu tầm và biên soạn 2. Định lý: Cho hàm số ()yfx= có đạo hàm trên KÌ¡ , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng. +) Nếu ()0, fxxK¢>"Î thì hàm số ()yfx= đồng biến trên khoảng K . +) Nếu ()0, fxxK¢<"Î thì hàm số ()yfx= nghịch biến trên khoảng K . Chú ý. Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp fx bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K . Người ta chứng minh được rằng, nếu 0fx với mọi xK thì hàm số fx không đổi trên khoảng K . 3. Định lý: (Tổng quát) Cho hàm số ()yfx= có đạo hàm trên KÌ¡ , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng. +) Nếu ()0, fxxK¢³"Î và ()0fx¢= xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số ()yfx= đồng biến trên khoảng K . +) Nếu ()0, fxxK¢£"Î và ()0fx¢= xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số ()yfx= nghịch biến trên khoảng K . 4. Lưu ý: +) Nếu hàm số ()yfx= liên tục trên đoạn [;]ab và '()0, (;)fxxab>"Î thì ta nói hàm số đồng biến trên đoạn [;].ab +) Nếu hàm số ()yfx= liên tục trên đoạn [;]ab và '()0, (a;)fxxb<"Î thì ta nói hàm số nghịch biến trên đoạn [;].ab +) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng. 5. Sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số. Để xét tính đơn điệu của hàm số ()yfx ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D . Bước 2: Tính đạo hàm ()yfx . Tìm các điểm 0;1;2;...ixi mà tại đó ()0fx hoặc làm cho ()fx không xác định. Bước 3: Sắp xếp các 0;1;2;...ixi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên nêu kết luận Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT. Cách 1: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được về tính tăng, giảm giá trị của f(x) và dự đoán. Cách 2: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba).
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Page 3 Sưu tầm và biên soạn II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Khái niệm cực trị của hàm số: Cho hàm số ()yfx xác định và liên tục trên khoảng (;)ab và điểm 0(;)xab . +) Nếu tồn tại số 0h sao cho 0fxfx với mọi 00(;)xxhxh và 0xx thì ta nói hàm số ()yfx đạt cực đại tại 0x . +) Nếu tồn tại số 0h sao cho 0fxfx với mọi 00(;)xxhxh và 0xx thì ta nói hàm số ()yfx đạt cực tiểu tại 0x . * Chú ý +) Nếu hàm số ()yfx đạt cực đại tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số; 0()fx được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là ()CTffCÑ , còn điểm 00(;())Mxfx được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. +) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số. 2. Cách tìm cực trị của hàm số Định lí 2: Giả sử hàm số ()yfx liên tục trên (;)ab chứa điểm 0x và có đạo hàm trên 0(;)ax và 0(;)xb . +) Nếu '0fx trên khoảng 0(;)ax và '()0fx trên 0(;)xb thì 0x là một điểm cực đại của hàm số ()yfx . +) Nếu 0fx trên khoảng 0(;)ax và ()0fx trên 0(;)xb thì 0x là một điểm cực tiểu của hàm số ()yfx . Minh họa bằng bảng biến thiến
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Page 4 Sưu tầm và biên soạn NHẬN XÉT: Để tìm cực trị của hàm số ()yfx ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D . Bước 2: Tính đạo hàm ()yfx . Tìm các điểm 0;1;2;...ixi mà tại đó ()0fx hoặc làm cho ()fx không xác định. Bước 3: Sắp xếp các 0;1;2;...ixi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên nêu kết luận HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ. = = =I Câu 1: Một vật chuyển động theo quy luật 3222493stttt với t (giây) là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động và st (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vật chuyển động nhanh dần hay chậm dần. Lời giải Vận tốc chuyển động của vật được xác định theo công thức: 26489vtsttt . Ta có 1248vtt ; 04vtt . Từ đó ta có bảng biến thiên Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Từ thời điểm bắt đầu chuyển động đến thời điểm 4t giây, vật chuyển động nhanh dần. Từ thời điểm 4t giây đến thời điểm 10t giây, vật chuyển động chậm dần. Câu 2: Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm được tính theo công thức 43130 1004     t Vtt với 090t . Tốc độ bơm nước ở thời điểm t được tính theo công thức vtVt . Tìm thời điểm tốc độ bơm nước là lớn nhất và tính tốc độ bơm nước lớn nhất đó. Lời giải Ta có 23190 100vtVttt . 211803 100vttt .