Title Đề số 17.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 17 Câu 1. (4,5 điểm) a) Cho biểu thức 283212 623 xxxxx A xxxx    , với x > 4 Rút gọn biểu thức A và tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn A. 12 xx  b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2 3 2240. 2 x xxyxy Câu 2. (4,5 điểm) a) Giải phương trình 3 4 311 x x x  b) Giải hệ phương trình 22 2(1)(21)20 .  444260 xyx xyyxyxy     Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB  AC) có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn thẳng BH tại M. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm N sao cho AM = AN. a) Chứng minh EB.EH = ED.EF. b) Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB  AC) có hai đường cao AE, BD cắt nhau tại H. Đường trung trực của đoạn thẳng DH cắt AE tại M, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại P và Q (P nằm giữa M và Q). a) Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. b) Chứng minh  APMAQMCBD c) Đường thẳng AQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại F (F khác Q). Chứng minh APBFPB Câu 5. (4,0 điểm)
a) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương b sao cho nghiệm của phương trình bậc hai 20xbxbp là số nguyên. b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 2223xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 222222111 P.xyxyyzyzzxzx zxy     ĐÁP ÁN Câu 1: a) Ta có: 283283 6(2)(3) xxxx xxxx    và 2 (1)211 222 xxxx xxx    28312 (2)(3)23 xxxx A xxxx    283(1)(3)2(2) (2)(3) xxxxxx xx    2833324 (2)(3) 2(2) (2)(3)(2)(3)3 xxxxxxx xx xxxxx xxxxx       11 A 12121233 xxxxxx xx    12(1)(3) 2150 xx xx   (3)(5)0 30 9 xx x x    Kết hợp với x  4 suy ra các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 5; 6; 7; 8; 9 b) Giả sử tồn tại cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2 3 2240. 2 x xxyxy (1)
 32 2 2 (1)244280 (21)2(21)2(21)6 (21)226 xxxyxy xxyxx xxy    Suy ra số nguyên 2x + 1 là ước của 6. Do 2x + 1 không chia hết cho 2 nên 213;3;1;1x TH1: 2 1 2131 3 22223 2 x xx xyyy      Z (Loại) TH2: 2 21322 222242 xxx xyyy      (Thỏa mãn) TH3: 2 21100 226284 xxx xyyy      (thỏa mãn) TH4: 2 1 2111 5 22625 2 x xx xyyy      Z (Loại) Vậy có hai cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán: (x; y) = (-2; -2); (x; y) = (0; 4) Câu 2: a) Điều kiện: 3101 . 403 x x x     Phương trình (1) tương đương với 22 (31)1 4 311 x x x    (311)(311) 4 311 xx x x    3114 3141 xx xx   22 (31)(41)42xxxx
22 2 202 05 4(2)50 5 x xx xx xxxx x         (Nhận) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x  5. b) Hệ PT (1) tương đương với 22 2(1)(21)(1)10 44(44)(1)2670 xyx xyyxyyxxy     2 2 2(1)(21)(1)10 4(1)4(1)(1)2(1)3(21)20 2(1)(21)(1)10 (1)(21)2(1)3(21)20 xyx yxyxxxy xyx xyxy         Đặt a = x + 1; b = 2y + 1 ta có hệ 22 2102(1)0 23202(1)30 abaaba abababab     2 210 210 0 430 430 aba aba b ababb aba        2 2101 1 00 2 x abaa bby       (Thỏa mãn) 21010 43011 abaax ababy      Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: 2 0 ,.1 1 2 x x yy       Câu 3: