Title Bài 3_ _Đề bài.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 1 BÀI 3: BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TỔNG, HIỆU HAI VECTƠ VÀ TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a a a a =  1 2 3 ; ;  r và b b b b =  1 2 3 ; ;  r và số thực k . Khi đó: a b a b a b a b + = + + +  1 1 2 2 3 3 ; ;  r r a b a b a b a b - = - - -  1 1 2 2 3 3 ; ;  r r ka ka ka ka =  1 2 3 ; ;  r . Nhận xét: Cho hai vecto a a a a =  1 2 3 ; ;  r và b b b b b = 1  1 2 3 ; ; , 0  r r r . Hai vectơ a r và b r cùng phương khi và chi khi tồn tại số k sao cho 1 1 2 2 3 3 a kb a kb a kb ì = ï í = ï î = . Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ p q r = - = - = - 3; 2;1 , 6; 4;2 , 2;1; 3      r r r . a) Tìm tọa độ của vectơ c p q r = - + 2 3 r r r r . b) Tìm hai vectơ cùng phương trong các vectơ đã cho. Lời giải a) Ta có: 2 (6; 4;2), 3 ( 18;12; 6), (2;1; 3) p q r = - - = - - = - r r r . Suy ra c p q r = - + = - - 2 3 ( 10;9; 7) r r r r . b) Ta có 2 (6; 4;2) p q = - = r r , suy ra hai vecto p q, r r cùng phương. Do 3 2 2 1- 1 nên p r, r r không cùng phương. Tương tự, hai vectơ q r, r r không cùng phương. Chú ý: Từ nay trở đi, các bài tập liên quan đến toạ độ đều được xét trong không gian Oxyz. II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Trong không gian Oxyz ,tích vô hướng của hai vectơ a a a a =  1 2 3 ; ;  r và b b b b =  1 2 3 ; ;  r được xác định bởi công thức 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b × = + + . r r Nhận xét: a) 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b a b ^ Û + + = 0( , r r r r khác 0) r ; b) 2 2 2 1 2 3 a a a a = + + r c)   1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , ( , a b a b a b a b a b a b a b a a a b b b × + + = = × + + × + + r r r r r r r r khác 0) r . Ví dụ 2. Cho ba vectơ a b c = = - - = - 3;0;1 , 1; 1; 2 , 2;1; 1      r r r . a) Tính a b b c × × , r r r r . b) Tính a b a b , ,cos ,   r r r r . c) Cho d = - 1;7; 3 r . Chứng minh d a ^ r r . Lời giải
BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 2 a) Ta có: a b× = × + × - + × - = 3 1 0 1 1 2 1     r r ; b c× = × + - × + - × - = 1 2 1 1 2 1 3.       r r b) Ta có: 2 2 2 2 2 2 a b = + + = = + - + - = 3 0 1 10; 1 ( 1) ( 2) 6 r r .   1 15 cos , . 10 6 30 a b a b a b × = = = × × r r r r r r c) Ta có d a× = × + × + - × = 1 3 7 0 3 1 0   r r , suy ra d a ^ r r . III. Vận dụng 1. Xác định toạ độ của vectơ khi biết toạ độ điểm đầu và điểm cuối Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A x y z B x y z  A A A B B B ; ; , ; ;    . Ta có: AB x x y y z z = - - -  B A B A B A ; ; . uuur Nhận xét:       2 2 2 AB AB x x y y z z = = - + - + - B A B A B A uuur . Ví dụ 3. Cho ba điểm A B C 2;0;2 , 1;2;3 , 2;1;2      . a) Tìm toạ độ cúa các vectơ AB BC CA , , uuur uuur uuur . b) Tính các độ dài AB BC CA , , . Lời giải a) Ta có AB BC CA = - - - = - = - - - = - - = - - - = - 1 2;2 0;3 2 1;2;1 ; 2 1;1 2;2 3 1; 1; 1 ; 2 2;0 1;2 2 0; 1;           0 uuur uuur uuur b) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB AB BC BC CA CA = = - + + = = = + - + - = = = + - + = ( 1) 2 1 6; 1 ( 1) ( 1) 3; 0 ( 1) 0 1 uuur uuur uuur 2. Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác Trong không gian Oxyz : Cho hai điểm A x y z B x y z  A A A B B B ; ; , ; ;    . Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: ; ; . 2 2 2 A B A B A B x x y y z z M æ ö + + + ç ÷ è ø Cho tam giác ABC có A x y z B x y z C x y z  A A A B B B C C C ; ; , ; ; , ; ;      . Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là: ; ; . 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G æ ö + + + + + + ç ÷ è ø Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A B C 1; 1;1 , 0;1;2 , 1;0;1 -     . Tìm tọa độ: a) Trung điểm M của AB ; b) Trọng tâm G của tam giác ABC . Lời giải a) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là 1 0 1 1 1 2 1 3 ; ; hay ;0; . 2 2 2 2 2 M M æ ö æ ö + - + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø
BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 3 b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là 1 0 1 1 1 0 1 2 1 2 4 ; ; hay ;0; . 3 3 3 3 3 G G æ ö æ ö + + - + + + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø Ta có thể vận dụng các biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong giải toán hình học hoặc trong một số vấn đề thực tế. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A B C 7;3;3 , 1;2;4 , 2;3;5     . a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao ké từ A cúa tam giác ABC . b) Tìm độ dài cạnh AB và AC . c) Tính góc A . Lời giải a) Ta có BC = 1;1;1 uuur . Vì H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nên H BC Î và AH BC ^ . Gọi  x y z ; ;  là tọa độ của H , ta có BH x y z = - - -  1; 2; 4 uuur . Vì BH uuur cùng phương với BC uuur nên tồn tại t ÎR sao cho BH tBC = uuur uuur ; do đó x t - =1 ; y t z t - = - = 2 ; 4 , suy ra H t t t 1 ;2 ;4 + + +  . Ta có AH t t t = - - +  6; 1; 1 uuur . AH BC AH BC t t t t t ^ Û × = Û - + - + + = Û = Û = 0 6 1 1 0 3 6 2 uuur uuur uuur uuur . Suy ra H 3;4;6 . b) Ta có AB AC = - - = - ( 6; 1;1); ( 5;0;2) uuur uuur , suy ra 2 2 2 2 2 2 AB AC = - + - + = = - + + = ( 6) ( 1) 1 38; ( 5) 0 2 29 c) 30 0 2 32 cos 38 29 38 29 AB AC A AB AC × + + = = = × × × uuur uuur , suy ra ˆA 15, 43° » . Ví dụ 6. Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt S(0;0;20) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là A B (20;0;0), (0;20;0) , C D ( 20;0;0), (0; 20;0) - - (đơn vị cm ). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 40 N và được phân bố thành bốn lực 1 2 3 4 F F F F , , , r uur có độ lớn bằng nhau như Hình 4. Tìm tọa độ của các lực nói trên (mỗi centimét biểu diễn 1 N ).