Title HH_CĐ7.1- TỔNG ÔN - Phiếu.số.1.docx ✅

CHỦ ĐỀ 7: TỔNG ÔN CHƯƠNG II PHIẾU SỐ 1 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 1/ Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 2/ AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. Lời giải: 1/ Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC => BEC = 90 0 . CF là đường cao => CF  AB => BFC = 90 0 . Lấy I là trung điểm của BC => IB = IC = IF = IE. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn đường kính BC 1. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:  AEH =  ADC = 90 0 ; A là góc chung =>  AEH  ADC => AC AH AD AE  => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có:  BEC =  ADC = 90 0 ; C là góc chung =>  BEC  ADC => AC BC AD BE  => AD.BC = BE.AC. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1/ Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn. 2/ Chứng minh ED = 2 1 BC. 3/ Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4/ Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Chứng minh như bài 1 2. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. H ( - - 1 1 F E D C B A O H 1 3 2 1 1 O E D C B A
3. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E 1 = A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => E 3 = B 1 (2) Mà B 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 = E 2 + E 3 Mà E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2 + E 3 = 90 0 = OED => DE  OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E. 4. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 – OE 2  ED 2 = 5 2 – 3 2  ED = 4cm Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. 1/ Chứng minh AC + BD = CD. 2/ Chứng minh COD = 90 0 . 3/ Chứng minh AC. BD = 4 2 AB . 4/ Chứng minh OC // BM 5/ Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 6/ Chứng minh MN  AB. 7/ Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải 1/ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2/ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90 0 . 3/ Theo trên COD = 90 0 nên tam giác COD vuông tại O có OM  CD ( OM là tiếp tuyến ). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM 2 = CM. DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R 2 => AC. BD = 4 2 AB . 4/ Theo trên COD = 90 0 nên OC  OD . (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R / / y x N C D I M B O A
=> OD là trung trực của BM => BM  OD . (2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD). 5/ Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB  IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD 6/ Theo trên AC // BD => BD AC BN CN  , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra DM CM BN CN  => MN // BD mà BD  AB => MN  AB. 7/ Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD => Chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi => Chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 4. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1/ Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2/ Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3/ Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lời giải 1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI  BK hay IBK = 90 0 . Tương tự ta cũng có ICK = 90 0 Lấy O’ là trung điểm của IK => O’K = O’I = OC = OB => B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn. 2. Ta có C 1 = C 2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH. C 2 + I 1 = 90 0 (2) ( vì IHC = 90 0 ). I 1 =  ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) o 1 2 1 H I C A B K
Từ (1), (2) , (3) => C 1 + ICO = 90 0 hay AC  OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH 2 = AC 2 – HC 2 => AH = 221220 = 16 ( cm) CH 2 = AH.OH => OH = 16 1222  AH CH = 9 (cm) OC = 2251292222HCOH = 15 (cm) Bài 5. Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. 1/ Chứng minh tứ A, M, B, O cùng thuộc một đường tròn. 2/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 3/ Chứng minh OI.OM = R 2 ; OI. IM = IA 2 . 4/ Chứng minh OAHB là hình thoi. 5/ Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6/ Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d Lời giải 1. (HS tự làm). 2. Vì K là trung điểm NP nên OK  NP (quan hệ đường kính Và dây cung) => OKM = 90 0 . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90 0 ; OBM = 90 0 . => K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 90 0 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM  AB tại I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90 0 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA 2 hay OI.OM = R 2 ; và OI. IM = IA 2 . 4. Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH  AB; cũng theo trên OM  AB d H I K N P M D C B A O