Title Bài 6_Vec tơ và các phép toán trong không gian_Đề bài_Toán 12_KNTT.pdf ✅

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. - Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: - Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB  . - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a,b, x, y,     - Độ dài của vectơ AB  được kí hiệu là | AB |  , độ dài của vectơ a  được kí hiệu là a  - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điẻ̉m cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4). Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.5). a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện? b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng  ABC ? c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a. Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. - Hai vectơ a  và b  được gọi là bằng nhau, kí hiệu a  b   , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: - Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a  cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OM  a   . - Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA, BB,   gọi là các vectơ-không. - Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0 , cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0  . Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC  ABC (H2.8). a) Trong ba vectơ BC,CC   và BB  , vectơ nào bằng vectơ AA  ? Giải thích vì sao. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm M  sao cho MM   AA   . 2. TỔNG VÀ HIỊ̂UU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a  và b  . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B , C sao cho AB  a, BC  b     . Khi đó, vectơ AC  được gọi là tổng của hai vectơ a  và b  , kí hiệu là a  b   . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:
- Nếu A, B,C là ba điểm bất kì thì AB  BC  AC    ; - Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC    . Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H 2.12) . Tính độ dài của vectơ BC  DD   . Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau: - Tính chất giao hoán: Nếu a  và b  là hai vectơ bất kì thì a  b  b  a     . - Tính chất kết hợp: Nếu a,b   và c  là ba vectơ bất ki thì (a  b)  c  a  (b  c)       . - Tính chất cộng với vectơ 0  : Nếu a  là một vectơ bất kì thì a  0  0  a  a      . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ a,b   và c  là a  b  c    mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng AC  BD  AD  BC     . Kết quả sau đây được gọi là quy tắc hình hộp. Cho hình hộp ABCD ABCD. Khi đó, ta có AB  AD  AA  AC     . Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD ABCD (H.2.14) . Chứng minh rằng BC  DC  AA  AC     . b) Hiệu của hai vectơ trong không gian Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a  được gọi là vectơ đối của vectơ a  , kí hiệu là a  . Chú ý - Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0  . - Vectơ BA  là một vectơ đối của vectơ AB  .
- Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó. Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vecto trong không gian: Vectơ a  (b)   được gọi là hiệu của hai vectơ a  và b  và kí hiệu là a  b   . Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. Nhận xét. Với ba điểm O, A, B bất kì trong không gian, ta có OB OA  AB    . Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD (H .2 .16). Chứng minh rằng: a) AM  và CN  là hai vectơ đối nhau; b) SC  AM  AN  SA     . 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Tương tự như tích của một số với một vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về tích của một số với một vectơ trong không gian: Trong không gian, tích của một số thực k  0 với một vectơ a  0  là một vectơ, kí hiệu là ka  , được xác định như sau: - Cùng hướng với vectơ a  nếu k  0 ; ngược hướng với vectơ a  nếu k  0 ; - Có độ dài bằng | k | | a |  . Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Chú ý - Quy ước ka  0   nếu k  0 hoặc a  0   . - Nếu ka  0   thì k  0 hoặc a  0   . - Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a a  và b(b  0)    cùng phương là có một số thực k sao cho a  kb   . Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC  ABC . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC, gọi O là giao điểm của AB và AB(H .2 .18). Chứng minh rằng CC  (2)OM   .