Title CD-Đại số 11-Chương 3-Giới hạn. Hàm số liên tục-Bài 1-Giới hạn của dãy số-Tự luận.doc ✅

Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Bài tập tự luận Trang 1 CHƯƠNG 3 GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số a. Định nghĩa - Giới hạn dãy số có giới hạn 0 Dãy số nu có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim0 n n u . Chú ý: Ngoài kí hiệu lim0 n n u , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim0 nu hay 0 nu khi n . Nhận xét: Nếu nu ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim0 nu . - Giới hạn hữu hạn của dãy số Dãy số nu có giới hạn hữu hạn là số a khi n dần tới dương vô cực, nếu  lim0 n n ua , kí hiệu lim n n ua . Chú ý:  Ngoài kí hiệu lim n n ua , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim nua hay  nua khi n .  limcc , với c là hằng số.  Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.  Không phải dãy số nào cũng có giới hạn. b. Một số giới hạn cơ bản:  1 lim0 n , 1 lim0 k n với k là số nguyên dương cho trước.  lim0c n , lim0 k c n với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước.  Nếu 1q thì lim0nq  Dãy số nu với     1 1 n nu n có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e :     1 lim1 n e n Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045 2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Bài tập tự luận Trang 2 a) Nếu lim; limnnuavb thì  limnnuvab  limnnuvab  lim..nnuvab  limn n ua vb ( 0b ) b) Nếu ℕ*0, nun và lim nua thì 0a và lim nua 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn 21 1111,,,...,,...nuuququq có công bội q thỏa mãn 1q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:    211 1111...... 1 nu Suuququq q 1q 4. Giới hạn vô cực của dãy số Định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực:  Ta nói dãy số nu có giới hạn là  khi n , nếu nu lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim n n u hay lim nu hay  nu khi n .  Ta nói dãy số nu có giới hạn là  khi n , nếu  lim n n u , kí hiệu lim n n u hay lim nu hay  nu khi n . Nhận xét:  ℤlim()knk  lim(1)nqq  Nếu lim; limnnuav (hoặc limnv ) thì lim0n n u v  Nếu lim0; lim0nnuav và 0nv với mọi n thì limn n u v  Nếu limlimnnuu . DẠNG 1
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Bài tập tự luận Trang 3 CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN LÀ 0 Phương pháp: Cách 1: Áp dụng định nghĩa. Cách 2: Sử dụng các tính chất sau:  Nếu k là số thực dương thì 1 lim0 k n .  Nếu 1q thì lim0nq .  Với hai dãy số nu và nv , nếu nnuv với mọi n và lim0nv thì lim0nu . Bài 1. Chứng minh các dãy số nu sau đây có giới hạn là 0. a) cos4 3n n u n  b) 3 1cos 23n n u n    c)  11 11 23 n nnnu    d) 2 2 cos4 10n n unn  Lời giải a) Ta có *nℕ thì cos4111 cos41 33n n nu nnnn  . ta có 1 lim0 n . suy ra lim0nu . b) Ta có *nℕ thì 3 31cos221 cos1 23232n n nu nnnn    . ta có 1 lim0 n . suy ra lim0nu . c) Ta có  111111 1111111 , 2323222 n nnnnnnnnun   ℕ . Vì 11 limlim0 22 n n     . Từ đó suy ra lim0nu .
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Bài tập tự luận Trang 4 d) Ta có 2 2 22 cos 10 cos44 10n n n unnn n         . Vì 2 cos 110 n nn   mà 1 lim0 n nên 2 cos 10 lim0 n n   BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 2. Chứng minh các dãy số nu sau đây có giới hạn là 0. a)   2 2 2cos 1n n u n b)    2 1sin3 31 n n nn u n c)    22cos 31n nn u n Bài 3. Tính các giới hạn sau: a) 62 2 3sin5cos(1) lim 1 nn n   b)   223 2 3sin2 lim 23 nn n c)    2 322 lim .3cos2 nn nn