Title Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 11 - PHÉP BIẾN HÌNH KHÔNG GIAN.doc ✅

Trang 1 Chuyên đề 11: PHÉP BIẾN HÌNH KHÔNG GIAN 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phép dời hình trong không gian - Một phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ: Nếu F biến hai điểm bất kỳ M, N lần lượt thành hai điểm ','MN thì ''MNMN . Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng thành mặt phẳng… - Hợp thành của những phép dời hình là phép dời hình. Các phép dời hình trong không gian - Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ v⃑ là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho 'MM⃑ v⃑ . - Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục): Cho đường thẳng d, phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M' sao cho trong mặt phẳng (M,d), d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' . - Phép đối xứng qua một điểm (phép đối xứng tâm): Cho điển O, phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OMOM'0⃑⃑⃑ , hay O là trung điểm của MM' . - Phép đối cứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M' sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM' . - Hai hình H và H' gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Đối với các khối đa diện lồi: Nếu phép dời hình F biến tập các đỉnh của khối đa diện lồi H thành tập các đỉnh của khối đa diện lồi H' thì F biến H thành H' . Định lý: Hai hình tứ diện ABCD và A'B'C'D' bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau, nghĩa là ABA'B',BCB'C',CDC'D',DAD'A',ACA'C',BDB'D'. Phép vị tự trong không gian - Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM'kOM⃑⃑ gọi là phép vị tự. Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M',N' thì M'N'kMN⃑⃑ và do đó M'N'kMN .
Trang 2 Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng. - Hình H được gọi là đồng dạng với hình H' nếu có một phép vị tự biến hình H thành hình H 1 mà hình H 1 hằng hình H' . 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 11.1: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A,B,C,D thành chính nó phải là phép đồng nhất. Hướng dẫn giải Giả sử phép dời hình f biến các điểm A,B,C,D thành các điển đó, tức là f(A)A,f(B)B,f(C)C,f(D)D . Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kỳ thành M. Thật vậy, giả sử M'f(M) và M' khác với M. Khi đó vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên AMAM',BMBM',CMCM',DMDM', suy ra bốn điểm A,B,C,D nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn MM' , điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện. Vậy M' trùng với M và do đó f là phép đồng nhất. Bài toán 11.2: Cho hai hình tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tương ứng bằng nhau: ABA'B',BCB'C',CDC'D',DAD'A',DBD'B',ACA'C'. Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm A'B'C'D' . Hướng dẫn giải Giả sử có hai phép dời hình f 1 và f 2 đều biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm A',B',C',D'. Nếu f 1 và f 2 khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu 11Mf(M) và 22Mf(M) thì M 1 và M 2 là hai điểm phân biệt. Khi đó vì f 1 và f 2 đều là phép dời hình nên 1A'MAM và 2A'MAM , vậy 12A'MA'M , tương tự 121212B'MB'M,C'MC'M,D'MD'M, do đó bốn điểm A',B',C',D' cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng M 1 M 2 , trái với giả thiết A',B',C',D' là hình tứ diện. Do đó với mọi điểm M ta đều có 12f(M)f(M), tức là hai phép dời hình f 1 và f 2 trùng nhau. Vậy có không quá một phép dời hình biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm A',B',C',D'. Bài toán 11.3: Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó, tức là f(A)A,f(B)B,f(C)C . Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của mp(ABC) thành chính nó. Hướng dẫn giải
Trang 3 Vì f(A)A,f(B)B và f(C)C nên f biến mp(ABC). Bởi vậy nếu M thuộc mp(ABC) và f(M)M' thì M' thuộc mp(ABC) và AMAM',BMBM',CMCM'. Nếu M' và M phân biệt thì ba điểm A,B,C thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM' trên mp(ABC), trái với giả thiết ABC là tam giác. Vậy f(M)M. Bài toán 11.4: Cho hai tam giác bằng nhau ABC và A'B'C' (ABA'B',BCB'C',ACA'C') . Chứng minh rằng có đúng hai phép dời hình, mỗi phép biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' . Có những phép dời hình nào biến tam giác ABC thành chính nó? Hướng dẫn giải Trên đường thẳng a vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm D khác A, trên đường thẳng a' vuông góc với mp(A'B'C') tại A' có hai điểm phân biệt D 1 và D 2 sao cho 12A'DA'DAD . Ta có các hình tứ diện ABCD, 1A'B'C'D và 2A'B'C'D có các cạnh tương ứng bằng nhau. Nếu f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì f biến D thành D 1 hoặc f biến D thành D 2 . Vậy có đúng hai phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' . Đó là phép dời hình f 1 biến tứ diện ABCD thành tứ diện 1A'B'C'D và phép dời hình f 2 biến tứ diện ABCD thành tứ diện 2A'B'C'D . Đây là trường hợp riêng khi hai tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau. Vậy ta có hai phép dời hình biến ABCD thành chính nó: đó là phép đồng nhất và phép đối xứng qua mp(ABC). Bài toán 11.5: Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm là các phép dời hình. Hướng dẫn giải - Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v⃑ biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm M',N' thì MM'NN'v⃑⃑⃑ , suy ra MNM'N'⃑⃑ do đó MNM'N' . Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình. - Nếu phép đối xứng tâm O biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm M',N' thì OM'OM,ONON⃑⃑⃑⃑ . Suy ra: M'N'ON'OM'ONOMNM⃑⃑⃑⃑⃑⃑
Trang 4 Do đó M'N'MN , suy ra phép đối xứng tâm O là một phép dời hình. Bài toán 11.6: Chứng minh rằng phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng là các phép dời hình. Hướng dẫn giải - Giả sử phép đối cứng qua đường thẳng d biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm M'N' . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MN' và NN' , ta có: MNM'N'2HK,MNM'N'⃑⃑⃑⃑⃑ HNHMHM'HM'N'NMM'⃑⃑⃑⃑⃑⃑ Vì hai vectơ MM'⃑ và NN'⃑ đều vuông góc với HK⃑ nên: MNM'N'.MNM'N'2HKN'NMM'0⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ Suy ra 22 MNM'N' hay MNM'N' Vậy phép đối cứng qua d là phép dời hình. - Giả sử phép đối cứng qua mặt phẳng (P) biến M,N thành M',N'. Nếu M,N thuộc (P) thì M'M,N'N nên M'N'MN . Nếu có ít nhất một trong hai điểm M,N không nằm trên (P) thì qua bốn điểm M,N, M',N' có một mặt phẳng (Q) ( MM' và NN' cùng vuông góc với (P) nên song song với nhau). Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q) thì trong mp(Q), phép đối cứng qua đường thẳng  biến hai điểm M,N thành hai điểm M' và N' nên MNM'N' . Bài toán 11.7: Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thẳng nào đó. Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a' .Trong trường hợp nào thì: a) a trùng với a' b) a song song với a' c) a cắt a' d) a và a' chéo nhau? Hướng dẫn giải a) a trùng với a' khi a nằm trên mơ(P) hoặc a vuông góc với mp(P) b) a song song với a' khi a song song với mp(P) c) a cắt a' khi cắt mp(P) nhưng không vuông góc với (P) d) a và a' không bao giờ cắt nhau. Bài toán 11.8: Cho hai đường thẳng song song a và a' , hai mặt phẳng (P) và (P') cùng vuông góc với a. Tìm phép tịnh tiến biến a thành a' và biến (P) thành (P') . Hướng dẫn giải