Title Resumen Multivariables Prueba Global.pdf ✅

Si f es continua una región polar de la forma D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} Z Z D f(x, y)dA = Z β α Z h2(θ) h1(θ) f rcos(θ)), rsen(θ) rdrdθ Integrales triples La integral triple representa el volumen de E: V (E) = Z Z Z E dV Integrales sobre cajas rectangulares Si f es continua sobre una caja rectangular E = [a, b] × [c, d] × [r, s], entonces: Z Z Z E f(x, y, z)dV = Z s r Z d c Z b a f(x, y, z)dxdydz Integrales sobre regiones generales Sea D la proyección de E sobre el plano xy tal que: Si E = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ r ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} Z Z Z E f(x, y, z)dV = Z b a Z g2(x) g1(x) Z u2(x,y) u1(x,y) f(x, y, z)dzdydx Si E = {(x, y, z) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ r ≤ h2(y), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} Z Z Z E f(x, y, z)dV = Z d c Z h2(y) h1(y) Z u2(x,y) u1(x,y) f(x, y, z)dzdxdy Integrales triples en coordenadas cilíndricas Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares: x = r · cos(θ) y = r · sen(θ) z = z Para convertir de coordenadas revtangulares a cilíndricas: r 2 = x 2 + y 2 tan(θ) = y x z = z Luego: Z Z Z E f(x, y, z)dV = Z β α Z h2(θ) h1(θ) Z u2(rcos(θ),rsen(θ)) u1(rcos(θ),rsen(θ)) f(rcos(θ), rsen(θ), z)rdzdrdθ Integrales triples en coordenadas esféricas 2

4. Integrales de linea (I) Integrales de linea sobre campo escalar Z C f(x, y) · ds = Z b a f(r(t)) · ||r ′ (t)||dt a ≤ t ≤ b (II) Integrales de linea sobre campos vectoriales Z C F(x, y) · dr = Z b a F(r(t)) · r ′ (t)dt a ≤ t ≤ b Si F = (P(x, y), Q(x, y)): Z C P(x, y) · dx + Q(x, y) · dy = Z b a P(x(t), y(t)) · x ′ (t) · dt + Q(x(t), y(t)) · y ′ (t) · dt (III) Definiciones Campo conservativo Si F es un campo conservativo, entonces existe una funcion f tal que: ∇f = F Curva Cerrada Si C es parametrizada por r(t) y a ≤ r ≥ b es una curva cerrada si su punto inicial coincide con su punto final. r(a) = r(b) Region Convexa Si D es una region convexa es porque todo par de puntos que pertenecen a D pueden unirse mediante una trayectoria contenida en D. 4