Content text GỘP CHƯƠNG V_Đề bài không dòng chấm.pdf
CHƯƠNG V: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa 1: Ta nói dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kỉ hiệu lim 0 n n u hay 0 n u khi n . Chú ý. Tữ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau: - 1 lim 0 k n n với k là một số nguyên dương; - lim 0 n n q nếu | q |1; - Nếu n n u v với mọi n 1 và lim 0 n n v thì lim 0 n n u . Định nghĩa 2: Ta nói dãy số un có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu lim 0 n n u a , kí hiệu lim n n u a hay n u a khi n . 2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN a) Nếu lim n u = a và lim n v = b thì · lim(un +vn )= a+b · lim(un -vn )= a-b lim( . ) . n n · u v = a b lim n n u a v b æ ö ç ÷ · = è ø (nếu b 1 0 ). b) Nếu lim 0, n n u a u n ìï = í ï 3 " î thì lim . 0 n u a aìï = í ï î 3 3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn ( )n u có công bội q , với q <1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 2 3 ( ) 1 1 . 1 S n u u u u u q q = + + + + = - 1⁄4 +1⁄4 < 4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số un có giới hạn là khi n , nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim n u hay n u khi n . • Dãy số un có giới hạn là khi n , nếu limun . Kí hiệu: lim n u hay n u khi n . Nhận xét: lim lim . n n u u Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim k n với k nguyên dương; b) lim n q nếu q 1. Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây: a) Nếu lim n u a và lim n v thìlim 0 n n u v . b) Nếu lim 0 n u a , lim 0 n v và 0, 0 n v n thì lim . n n u v c) Nếu lim n u và lim 0 n v a thì lim . . n n u v B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của k n , với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn. Chú ý : Cho P(n), Q(n) lần lượt là các đa thức bậc m, k theo biến n : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 m k k k k k m m m m a n a a Q n b n b n b n P x a n b b a n - - - = + - + + + =/ = + + + + =/ Khi đó ( ) ( ) lim lim m m k k P n a n Q n b n = , viết tắt ( ) ( ) m m k k P n a n Q n b n , ta có các trường hợp sau : Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì ( ) ( ) lim 0. P n Q n = Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) thì ( ) ( ) lim . m k P n a Q n b = Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) thì ( ) ( ) 0 lim . 0 m k m k P n khi a b Q n khi a b ìï+¥ > = í ï î-¥ < Để ý rằng nếu P(n), Q(n) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể m k n tì có bậc là . kn Ví dụ n có bậc là 1 3 4 , 2 n có bậc là 4 ,... 3 Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng ! 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính 3 2 3 2 3n 5n 1 lim 2n 6n 4n 5 . Ví dụ 2: Tính 2 3 2 lim 3 1 n n n n + + - Ví dụ 3: Tính 7 2 3 lim 3 1 n n n n + + - Ví dụ 4: Cho dãy số ( )n u với 2 5 3 n n b u n + = + trong đó b là tham số thực. Để dãy số ( )n u có giới hạn hữu hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu
Ví dụ 5: Cho dãy số ( )n u với 2 2 4 2 . 5 n n n u an + + = + Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a bằng bao nhiêu Ví dụ 6: Tính giới hạn ( )( )( ) ( )( ) 2 3 4 2 2 2 1 4 5 lim . 3 1 3 7 n n n n L n n n + + + = - - - Dạng 2. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính 2 2 lim n 7 n 5 Ví dụ 2. Tính ( ) 2 lim n -n +1-n Ví dụ 3. Tính 3 2 3 lim n n n Ví dụ 4. Tính lim n ( n 1 n) é ù ê + - ú ë û Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ 1. Phương pháp Trong tính giới hạn lim n n u v mà ; n n u v là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho n a với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: lim 0 n q với q 1. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính 1 1 3 2.5 lim 2 5 n n n n Ví dụ 2: Tính 1 3 4.2 3 lim 3.2 4 n n n n Ví dụ 3: Tính n 5n 1 5n 2 1 2 lim 3 Ví dụ 4: Tính n n 1 n n 3 4.2 3 lim . 3.2 4 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B
Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho 2 21 1 lim 3 3 2 n an n- + - + là một số nguyên. Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1. Phương pháp Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q 1. Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) 1 1 2 n u S u u ... u ... 1 q Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 n 1 2 3 1 2 3 n 2 3 n a a a a X N,a a a ...a ... N ... ... 10 10 10 10 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn n 1 1 1 1 1 1, , , ,..., ,... 2 4 8 2 Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a 0,212121... (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số. Ví dụ 3: Tổng 2 3 n 1 n S 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9 ... có kết quả bằng bao nhiêu? Ví dụ 4: Cho 2 3 S 1 q q q ..., q 1 2 3 2 2 3 3 T 1 Q Q Q ..., Q 1 E 1 qQ q Q q Q ... Biểu thị biểu thức E theo S,T Ví dụ 5: Tìm số hạng U1 của cấp số nhân lùi vô hạn, biết 1 S 4; q . 2 Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết 1 S 6; U 3. Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn 1. Phương pháp 1) Dạng tồng các phân số. Ví Dụ: 1 1 1 A ,n 2,n N 2.3 3.4 n(n 1) Ta phân tích : 1 1 1 k(k 1) k k 1 .(1) Để tính A ta thay k từ 2,3,,n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng 2) Dạng tích các phân số: Ví dụ: 2 2 2 2 2 1 3 1 B ,n 2,n N 2 3 Ta phân tích: 2 2 1 1 : .(2) 1 k k k k k k Để tính B ta thay k từ 2,3,,n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng 3) Dang đa thức: