Title Chương 2_Bài 6_Cấp số cộng_Lời giải_Toán 11_KNTT_Form 2025.pdf ✅

BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA a) Nhận biết dãy vô hạn - Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. - Cấp số cộng un  với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi un  un1  d,  n  2 Chú ý. Để chứng minh un  là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiêp n  n1 u u không đổi. 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u và công sai d thì số hạng tồng quát n u của nó được xác định theo công thức 1   ( 1) . n u u n d 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng un  với công sai d . Đặt n  1  2  n S u u u . Khi đó 2 1 ( 1) . 2 n    n S u n d Chú ý. Sử dụng công thức 1   ( 1) n u u n d , ta có thể viết tổng n S dưới dạng  1  . 2   n n n u u S B. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 2.8. Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau: a) 4,9,14,19,; b) 1,1,3,5, Lời giải a) 9  4  5 ; 1 4  9  5 Suy ra cấp số cộng có 1 u  4 , công sai d  5 Số hạng tổng quát của dãy số là: un  4  5n 1 Số hạng thứ 5: u5  4  55 1  24 Số hạng thứ 100: u100  4  5100 1  499 b) 11  2;3 1  2 Suy ra cấp số cộng có 1 u 1, công sai d  2 Số hạng tổng quát của dãy số là: un 1 2n 1 Số hạng thứ 5 : u5 1 25 1  7
Số hạng thứ 100: u100 1 2100 1  197 Bài 2.9. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số un  sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng u n  u1  n  1  d . a) 3 5 n u   n ; b) 6 4 n u  n  ; c) 1 1 2, n n u u u n     ; d) 1 1 2, 3 n n u u u     . Lời giải a) 1 2 3 4 5 u  8; u  13; u  18; u  23; u  28 Ta có: 1 3 5 3 5  1 5 2 n n u u n n x               Suy ra dãy số là cấp số cộng có 1 u  8 và công sai d  5 Số hạng tổng quát: un  8  5n 1 b) 1 2 3 4 5 u  2;u  8;u 14;u  20;u  26 Ta có: 1 6 4 6 1 4 6 2 n n u u n n x               Suy ra dãy số là cấp số cộng có 1 u  2 công sai d  6 Số hạng tổng quát: u n  2  6 n  1 c) 1 2 3 4 5 u  2;u  4;u  7;u 11;u 16 Ta có: 2 1 3 2 u  u  2  u  u  3 Suy ra đây không phải cấp số cộng. d) 1 2 3 4 5 u  2;u  5;u  8;u 11;u 14 Ta có: 1 3 n n u u    Suy ra đây là dãy cấp số công có 1 u  2 và công sai d  3 Số hạng tổng quát: un  2  3n 1 Bài 2. 10. Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32 . Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này. Lời giải Gọi số hạng tổng quát của dãy là: un  u1  n  1 d Ta có: 5 1 12 1 u  u  4d 18;u  u 11d  32 Suy ra 1 u 10,d  2 Số hạng tổng quát: u n  10  2 n  1 Số hạng thứ 50 là: 5 0 u  1 0 8 Bài 2. 11. Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2 . Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này đề có tổng bằng 2 700 ? Lời giải Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có: 2700 2 5  1 2 8 2  2 2 n n n  S     n      n   Do đó 2 4n  n  2700  0. Giải phương trình bậc hai này ta được n  54 (loại) hoặc n  50 Vậy phải lấy 50 số hạng đầu.
Bài 2. 12. Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mối năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng. Lời giải Giá của chiếc xe sau n năm là: un  680  55n 1 Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: u5  680  555 1  460 (triệu đồng) Bài 2.13. Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế? Lời giải Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu 1 u 15 và công sai d  3 . Gọi n là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có: 870 2 15  1 3 27 3  2 2 n n n  S     n      n   Do đó 2 27n  3n 1740  0 , suy ra n  20,n  29 (loại) Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế Bài 2.14. Vào năm 2020 , dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030 . Lời giải Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có 1 u 1200 , công sai d  30 Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: un 1200  30n 1 Dân số của năm 2030 tức n 11u11 1200  30111 1500 (nghìn người) C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Nhận dạng 1 dãy số là cấp số cộng 1. Phương pháp Sử dụng định nghĩa un  là một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 , n n u u d    với d là một hằng số. Để chứng minh dãy số un  là một cấp số cộng, ta xét n 1 n d u u    • Nếu d là hằng số thì un  là một cấp số cộng với công sai d. • Nếu d phụ thuộc vào n thì un  không là cấp số cộng. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2020 2021. n u  n  b) Dãy số un  với 2 5. n u   n  Lời giải a) Dãy số un  với 2020 2021. n u  n 
Ta có 1 2020 1 2021 2020 2021 2020. n n u u n n         Vậy un  là một cấp số cộng với công sai d  2020. b) Dãy số un  với 2 5. n u   n  Ta có 1 2 1 5  2 5 2. n n u u n n            Vậy un  là một cấp số cộng với công sai d  2. Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2 1. n u  n  n  b) Dãy số un  với  1 3 . n n u    n Lời giải a) Dãy số un  với 2 1. n u  n  n  Ta có       2 2 1 1 1 1 1 2 2 n n u u n n n n n             phụ thuộc vào n. Vậy un  không là cấp số cộng. b) Dãy số un  với  1 3 . n n u    n Ta có             1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 2 1 n n n n n n n u u n n                        phụ thuộc vào n. Vậy un  không là cấp số cộng. Dạng 2. Xác định số hạng , công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng 1. Phương pháp • Xác định một cấp số cộng là xác định số hạng đầu 1 u và công sai d • Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số 1 u và d rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un  có 3 u 15 và d  2 . Tìm . n u Lời giải Ta có ( ) 3 1 1 1 15 2 19 1 2 21. 2 2 ìï = = + ìï = í Û í ® = + - = - + ï ïî = - ï î = - n u u d u u u n d n d d Ví dụ 2: Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? Lời giải Ta có: 1 8 1 5 5 40 7 u d u u d ìï = í 3⁄43⁄4® = ï î = = + Ví dụ 3: Cho cấp số cộng un  có 1 u  123 và 3 15 u  u  84 . Tìm số hạng 17 u . Lời giải Ta có công sai của cấp số cộng là 3 15 84 7 3 15 12        u u d . Suy ra 17 1 u  u  (17 1)d  11.