Title Bài 02_Dạng 01. Lý thuyết và bài toán tìm max, min của hàm số trên một miền_GV.pdf ✅

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 1 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Định nghĩa: Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên tập D . Khi đó ta có: • M là giá trị lớn nhất của hàm số nếu ( ) 0 0 ( ) , : f x M x D x D f x M        =  . Kí hiệu max ( ) x D f x M  = • m là giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu ( ) 0 0 ( ) , : f x m x D x D f x m        =  . Kí hiệu min ( ) x D f x m  = • Khi yêu cầu tìm max min của hàm số màkhoong nói rõ xét trên tập nào thì ta hiểu là tìm max min trên miền xác định của hàm số đó. • Để tìm max min của hàm số y f x = ( ) trên miền D ta thường lập bảng biến thiên của hàm số y f x = ( ) trên D . Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận: Điểm ở vị trí cao nhất ⎯⎯→ Kết luận max Điểm ở vị trí thấp nhất ⎯⎯→ Kết luận min • Để tìm max min của hàm số y f x = ( ) trên đoạn a b;  ( f x( ) liên tục trên đoạn a b;  và có đạo hàm trên (a b; ) có thể trừ một số hữu hạn các điểm và f x ( ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trong (a b; ) ) thì ta có thể giải theo các bước sau: Bước 1: Giải phương trình f (0) tìm các nghiệm x a b 0 ( ; ) Bước 2: Tìm các điểm x a b i ( ; ) mà tại đó đạo hàm không xác định (nếu có) Bước 3: Tính toán f a f x f x f b ( ), , , * ( 0 ) ( i) ( ) ( ) Bước 4: Gọi M m, lần lượt là số lớn nhất và số nhỏ nhất của các kết quả tính toán ở bước (*) thì ta có thể kết luận:   ( )   ( ) ; ; max ; min a b a b M f x m f x = = BÀI 02 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 Một số lưu ý
2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI • Ta có thể sử dụng các bất đẳng thức có sẵn để đánh giá biểu thức cần tìm max, min. ▪ Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ab, : a b ab +  2 Dấu " " = xảy ra khi a b = ▪ Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm abc , , : 3 a b c abc + +  3 Dấu " " = xảy ra khi abc = = ▪ Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm 1 2 , ,..., n a a a : 1 2 1 2 ... ... n n n a a a n a a a + + +  Dấu " " = xảy ra khi 1 2 ... n a a a = = =
GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 3 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Dạng 1: Bài toán tìm max, min của hàm số y=f(x) trên miền D • Phương pháp giải: Bước 1: Tính y  . Giải phương trình y  = 0 tìm các nghiệm i x D  và tìm các điểm j x D  mà tại đó y  không xác định. Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D Bước 3: Từ bảng biên thiên đưa ra kết luận: Điểm ở vị trí cao nhất ⎯⎯→ Kết luận max Điểm ở vị trí thấp nhất ⎯⎯→ Kết luận min • Lưu ý: Nếu D là đoạn a b;  và hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn a b;  thì ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình f x ( ) = 0 rồi tìm các nghiệm x a b 0 ( ; ) Bước 2: Tìm các điểm x a b i ( ; ) mà tại đó đạo hàm không xác định (nếu có) Bước 3: Tính toán f a f x f x f b ( ), , , * ( 0 ) ( i) ( ) ( ) Bước 4: Gọi M m, lần lượt là số lớn nhất và số nhỏ nhất của các kết quả tính toán ở bước (*) thì ta có thể kết luận:   ( ) ( ) ; max ; min a b x D M f x m f x  = = • Lưu ý quan trọng: ▪ Nếu hàm số y f x = ( ) đồng biến trên a b;  thì   ( ) ( ) ; min a b f x f a = và   ( ) ( ) ; max a b f x f b = ▪ Nếu hàm số y f x = ( ) nghịch biến trên a b;  thì   ( ) ( ) ; min a b f x f b = và   ( ) ( ) ; max a b f x f a = Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra a) ( ) 3 y f x x x = = − 33 trên đoạn 2;19 b) ( ) 3 2 y f x x x = = − + 3 3 trên đoạn 1;3 c) ( ) 2 3 1 + = − x f x x trên đoạn 2;4 d) ( ) 3 1 1 x y f x x − = = + trên đoạn 0;2 e) 1 y 1 x = + trên đoạn 1;2 f) ( ) 4 y f x x 1 x = = + + trên đoạn 1;3 g) ( ) 2 y f x x x = = + −4 trên miền xác định h) ( ) 2 4 1 x x y f x x + + = = + trên đoạn 0;2 i) ( ) 2 2 2 1 1 x x y f x x − + = = + trên k) 2 4 y x3 x = + trên khoảng (0;+). l) ( ) 2 x x 1 y f x x + + = = trên khoảng (0;+) m) 4 1 y x x = + − trên khoảng (1;+) Lời giải a) ( ) 3 y f x x x = = − 33 trên đoạn 2;19 Ta có ( ) 2 f x x  = − 3 33 và ( ) 2 f x x x  =  =  =  0 11 11 Xét trên 2;19 ta có x =  11 2;19   ta có f f f (2 58; 11 22 11; 19 6232 ) = − = − = ( ) ( ) . B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN
4 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Vậy   ( ) ( ) 2;19 min 11 22 11 f x f = = − ;   ( ) ( ) 2;19 max 19 6232 f x f = = . b) ( ) 3 2 y f x x x = = − + 3 3 trên đoạn 1;3 Ta có ( ) 3 2 f x x x = − + 3 3 là hàm đa thức nên f x( ) liên tục trên đoạn 1;3. Trên đoạn 1;3 ta có ( )     2 0 1 3 3 6 0 2 1 3 x ; f x x x x ;  =   = − =    =  . Khi đó f (1 1 ) = ; f (2 1 ) = − ; f (3 3 ) = . Vậy   ( ) ( ) 1;3 min 2 1 f x f = = − ;   ( ) ( ) 1;3 max 3 3 f x f = = c) ( ) 2 3 1 + = − x f x x trên đoạn 2;4 Hàm số đã cho xác định với mọi x2;4 và có đạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 3 1 − −  = − x x f x x . Trên đoạn 2;4 ta có ( ) 2 f x x x x  =  − − =  = 0 2 3 0 3. Khi đó: f (2 7 ) = , f (3 6 ) = , ( ) 19 4 3 f = . Vậy   ( ) 2;4 min 6 f x = ;   ( ) ( ) 2;4 max 2 7 f x f = = . d) ( ) 3 1 1 x y f x x − = = + trên đoạn 0;2 Xét hàm số ( ) 3 1 1 x f x x − = + . Tập xác định: D = − \ 1   ; Hàm số liên tục trên đoạn 0;2 và ( ) ( ) 2 4 0, 1 1 f x x x  =    − + ; Khi đó: ( ) ( ) 5 0 1; 2 3 f f = − = . Vậy   ( ) ( ) 0;2 min 0 1 f x f = = − ;   ( ) ( ) 0;2 5 max 2 2 f x f = = e) 1 y 1 x = + trên đoạn 1;2 Ta có   2 1 y x 0 1;2 x  = −    nên hàm số nghịch biến trên 1;2. Do đó:   ( ) 1;2 M y y = = = max 1 2 ,   ( ) 1;2 3 min 2 2 m y y = = = . f) ( ) 4 y f x x 1 x = = + + trên đoạn 1;3 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;3 và có đạo hàm ( ) 2 4 f x 1 x  = − + Giải ( ) ( ) ( ) 2 1;3 0 2 1;3 x f x x  = −   =    =  .Ta có ( ) ( ) ( ) 16 1 6; 2 5; 3 3 f f f = = = . Vậy   ( ) 1;3 min 5 f x = ;   ( ) 1;3 max 6 f x = .