Title 2-1-PP HE TOA DO TRONG KHONG GIANI1.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. ATÓM TẮT LÝ THIẾT 1. HỆ TRỤC TOA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian, ba trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi i j k , , lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz . - Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz . - Điểm O được gọi là gốc toạ độ. - Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz),(Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Tọa độ của điểm: Trong không gian Oxyz cho một điểm M tuỳ ý. Bộ ba số ( ; , ) x y z duy nhất sao cho OM xi yj zk = + + được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz . Khi đó, ta viết M x y z = ( ; , ) hoặc M x y z ( ; , ) , trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M . Nhận xét. Nếu điểm M có toạ độ ( ; ; ) x y z đối với hệ toạ độ Oxyz thì: - Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox Oy và Oz , có tọa độ lần lượt là ( ;0;0) x , (0; ;0) y và (0;0; )z . - Hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt là ( ; ;0),(0; , ) x y y z và ( ;0; ) x z . Người ta chứng minh được rằng bộ ba số ( ; , ) x y z trong HĐ3 là duy nhất.
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Tọa độ của vectơ:Trong không gian Oxyz cho vectơ a tuỳ ý. Bộ ba số ( ; ; ) x y z duy nhất sao cho a xi yj zk = + + được gọi là toạ độ của vectơ a đối với hệ toạ độ Oxyz . Khi đó, ta viết a x y z = ( ; ; ) hoặc a x y z ( ; ; ). Nhận xét - Toạ độ của vectơ a cũng là toạ độ của điểm M sao cho OM a = . - Trong không gian, cho hai vectơ a x y z = ( ; ; ) và b x y z = (    ; ; ) . Khi đó, a b = nếu và chỉ nếu . x x y y z z  =    =   =   Trong không gian Oxyz cho hai điểm M x y z ( M M M ; ; ) và N x y z ( N N N ; ; ) . Khi đó: MN x x y y z z = − − − ( N M N M N M ; ; .) Chú ý: * i i j k =  +  +  1 0 0 nên i = (1;0;0) . * j i j k =  +  +  0 1 0 nên j = (0;1;0) . * k i j k =  +  +  0 0 1 nên k = (0;0;1). B-PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1)Dạng 1: Tìm tọa độ của điểm, của vectơ: Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết: b) 3 2 , 5 . OM i j k ON i k = − + = − Tìm tọa độ các điểm M N, . a) a i j k = + − 3 2 , b i j k = − + 3 4 , c i j = + 3 . Tìm tọa độ các vectơ abc , , . Lời giải b) M N (1; 3;2 , 1;0; 5 − − ) ( ) a) a b c = − = − = (1;3; 2 , 1; 3;4 , 3;1;0 . ) ( ) ( ) Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết: b) A B ( 5; 2;1), (0;4; 11). − − − Tính OA OB , theo các vectơ i j k , , . a) ( 3;2; 1), (3;0;12). a b = − − = Tính a b, theo các vectơ i j k , , . Lời giải a) OA i j k = − − + 5 2 1 OB j k = − 4 11 . b) ( 3;2; 1) 3 2 1 a a i j k = − −  = − + −
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 b b i k =  = + (3;0;12) 3 12 . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho các điểm M (0; 1;2 − ) , N (2; 3;0 − ) và u = − (3; 2;1) a) Tìm tọa độ các vectơ OM ON , b)Tìm tọa độ điểm P biết MP u = Lời giải a)Tọa độ OM là tọa độ của điểm M nên OM = − (0; 1;2) Tọa độ ON là tọa độ của điểm N nên ON = − (2; 3;0) b)Gọi P x y z ( ; ; ) , ta có MP x y z = + − ( ; 1; 2) 3 3 1 2 3 2 1 3 x x MP u y y z z   = =   =  + = −  = −       − = = Vậy P(3; 3;3) − Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz xác định toạ độ của điểm M trong mỗi trường hợp sau: a) M trùng với gốc toạ độ; b) M nằm trên tia đối của tia Ox và OM =3 ; c) M nằm trên tia Oy và OM = 2. d) M nằm trên tia đối của tia Oz và OM = 4 ; Lời giải a) M trùng với gốc tọa độ nên M (0;0;0). b) M nằm trên tia đối của tia Ox và OM =3 nên OM i = −3 . Do đó M (−3;0;0) c) M nằm trên tia Oy và OM = 2 nên OM j = 2 . Do đó, M (0;2;0) . d) M nằm trên tia đối của tia Oz và OM = 4 nên OM k = 4 . Do đó M (0;0;4) . Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho M ( 2;3;4) − . a)Tìm tọa độ các điểm 1 2 3 M M M , , lần lượt là hình chiếu của trên các trục tọa độ Ox Oy Oz , , ? b)Tìm tọa độ các điểm 1 2 3 M M M ' , ' , ' lần lượt là hình chiếu của trên các mặt phẳng (Oxy Oyz Ozx ), , ( ) ( ) Lời giải Oxyz M M
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 a)Ta có M1 là hình chiếu của trên các trục tọa độ Ox nên 1 M ( 2;0;0) − M 2 là hình chiếu của trên các trục tọa độ Oy nên 2 M (0;3;0) M3 là hình chiếu của trên các trục tọa độ Oz nên 1 M (0;0;4) b) 1 M ' lần lượt là hình chiếu của trên các mặt phẳng (Oxy) nên 1 M ' ( 2;3;0) − 2 M ' lần lượt là hình chiếu của trên các mặt phẳng (Oyz) nên 2 M ' (0;3;4) 3 M ' lần lượt là hình chiếu của trên các mặt phẳng (Ozx) nên 3 M ' ( 2;0;4) − Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz xác định toạ độ của vectơ AB trong mỗi trường hợp sau: a) A(2; 1;0 − ) và B(1;1; 3− ) . b) A(1; 3;7) − và B(1; 3;7) − ; c) A(5;4;9) và B( 5;7;2) − . Lời giải a) AB x x y y z z = − − − = − − ( B A B A B A ; ; ( 1;2; 3) ) b) AB x x y y z z = − − − = ( B A B A B A ; ; (0;0;0) ) c) AB x x y y z z = − − − = − − ( B A B A B A ; ; ( 10;3; 7) ) Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1− ), B(2; 1; 3 − ), C(−3; 5;1) . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Lời giải Gọi . Ta có AD x y z BC = − − + = − − ( D D D 1; 2; 1 ; 5;6; 2 ) ( ) là hình bình hành nên AD BC = 1 5 2 6 1 2 D D D x y z  − = −   − =    + = −  − − D( 4;8; 3) . Ví dụ 8: Trong không gian , cho hình bình hành . Biết , và . Tìm tọa độ điểm ? Lời giải Gọi tọa độ điểm là Vì là hình bình hành nên Ta có và M M M M M M D x y z ( ; ; ) ABCD Oxyz ABCD A = (1;0;1) B = (2;1;2) D = − (1; 1;1) C C ( x y z ; ; ) ABCD DC AB = DC x y z = − + − ( 1; 1; 1 ) AB = (1;1;1)