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1 Sumas y teorema del binomio Diseñado por: David Díaz Sumas Las sumas o sumatorias son una forma de resumir una secuencia de sumas consecutivas. Se pueden deducir propiedades para las sumas de modo que resulten más fáciles de manipular. Las sumas lucen de la siguiente manera: ∑F(i) b i=a que es equivalente a decir ∑ F(i) a ≤ i ≤ b Indicando el rango en el que trabaja i. Estas sumas tienen la característica de pasar por todos los i que cumplan con estar en el rango en el que se define el mismo i. Veamos un ejemplo: ∑ (i + 1) 0 ≤ i ≤ 10 = ∑(i + 1) 10 i=0 = (0 + 1) + (1 + 1) + (2 + 1) + ⋯ + (10 + 1) Entendiendo cómo lucen, vamos a ver algunas propiedades: 1. Asociatividad: ∑ai R(i) + ∑bi R(i) = ∑ai + bi R(i) 2. Conmutatividad: ∑ai R(i) = ∑ ap(i) R(p(i)) 3. Distributividad: c∑ai R(i) = ∑cai R(i)
2 Sumas y teorema del binomio Diseñado por: David Díaz La primera suma notable que vamos a desarrollar será una bastante clásica, es la suma de los primeros n elementos: ∑ i 1 ≤ i ≤ n = ∑i n i=1 Podemos utilizar un ejemplo más pequeño para explicar la lógica de resolución: Note que, si quisiera sumar los primeros 10 elementos, podría agrupar los elementos de la suma de la siguiente manera: 1 + 10 = 11 2 + 9 = 11 3 + 8 = 11 4 + 7 = 11 5 + 6 = 11 Es decir, sumar los primeros 10 elementos sería igual que sumar 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 5(11) = ( 10 2 ) (10 + 1) = (10)(10+1) 2 ¿Funcionará para 20? Pues claro, si agrupo los términos de la misma manera, el más pequeño con el más grande y así sucesivamente, voy a conseguir la misma relación. Para 20 sería: 1 + 20 = 21 2 + 19 = 21 3 + 18 = 21 ... 10 + 11 = 21 De modo que, 21(10) = 21 ( 20 2 ) = (20+1)(20) 2 Esto significa que ∑ i 0 ≤ i ≤n = ∑i n i=0 = n(n + 1) 2 Esta misma lógica se puede trabajar para los primeros n términos de una progresión aritmética de razón r. Suponga que la progresión es: (1,3,5,7,9,11) donde r = 2 Vea que la suma de estos términos se puede hacer con la misma dinámica: 1 + 11 = 12
3 Sumas y teorema del binomio Diseñado por: David Díaz 3 + 9 = 12 5 + 7 = 12 Luego, 12(3) = 12 ( 6 2 ) = (1+11)6 2 Donde note que el primer término era a1 = 1 y el último era a2 = 11, además el tamaño de la progresión era n = 6 Así, ∑ an 0 ≤ i ≤n = (a1 + an)n 2 Cambio de variable Un recurso muy útil para manipular sumas es el cambio de variable, que permite cambiar el nombre a una variable o también cambiar la variable por una expresión compatible. Veamos un ejemplo en el que se note su utilidad ∑ i 1 ≤ i ≤ n + ∑ j 1 ≤ j ≤ n En principio pensaríamos que hay que resolverse por separado, pero en verdad ambas sumatorias son iguales, se nota que suman lo mismo. El cambio de variable viene para hacer más claro este hecho. Simplemente se propone un cambio j = i para la segunda sumatoria: ∑ i 1 ≤ i ≤ n + ∑ i 1 ≤ i ≤ n Así, ∑ i + i 1 ≤ i ≤ n = ∑ 2i 1 ≤ i ≤ n = 2 ∑ i 1 ≤ i ≤ n = 2 ( n(n + 1) 2 ) = n(n + 1) El mejor caso de los cambios de variables es el que se conoce como el desplazamiento, cuya finalidad es hacer que una suma comience donde te convenga. Por ejemplo, ∑ ai 2 ≤ i ≤ n+2 Para el cual se propone el cambio de variable i = i + 2. Así, ∑ ai+2 2 ≤ i+2 ≤ n+2 Sabiendo que 2 ≤ i + 2 ≤ n + 2 ≡ 2 − 2 ≤ i ≤ n + 2 − 2 ≡ 0 ≤ i ≤ n, tenemos ∑ ai+2 0≤i≤n Logrando la misión de cambiar el dominio de la sumatoria.
4 Sumas y teorema del binomio Diseñado por: David Díaz Más manipulación del dominio: ∑ai R(i) + ∑ai C(i) = ∑ ai R(i) ∨ C(i) + ∑ ai R(i) ∧ C(i) Esto es un caso particular del principio de inclusión y exclusión que se verá luego. Ejemplo: ∑ ai 2 ≤ i ≤ 4 + ∑ ai 3 ≤ i ≤ 5 = ∑ ai 2 ≤ i < 3 + ∑ ai 3 ≤ i ≤ 4 + ∑ ai 3 ≤ i ≤ 4 + ∑ ai 4 < i ≤ 5 = ∑ ai 2 ≤ i < 3 + ∑ ai 3 ≤ i ≤ 4 + ∑ ai 4 < i ≤ 5 + ∑ ai 3 ≤ i ≤ 4 = ∑ ai 2 ≤ i ≤ 5 + ∑ ai 3 ≤ i ≤ 4 Veamos dos aplicaciones de esta fórmula: • Agregar un término de borde de una suma: a0 + ∑ ai 1≤i≤n = ∑ai i=0 + ∑ ai 1≤i≤n = ∑ ai i=0 ∨ 1≤i≤n + ∑ ai i=0 ∧ 1≤i≤n = ∑ ai 0≤i≤n + ∑ ai false = ∑ ai 0≤i≤n + 0 = ∑ ai 0≤i≤n • Juntar sumas donde un término se repite: ∑ ai 0≤i≤m + ∑ ai m≤i≤n = ∑ ai 0≤i≤m ∨ m≤i≤n + ∑ ai 0≤i≤m ∧ m≤i≤n = ∑ ai 0≤i≤n + ∑ ai i=m = ∑ ai 0≤i≤n + am Sumas múltiples: En algunas ocasiones tendremos sumas que dependan de dos índices al mismo tiempo, un ejemplo de ello podría ser: ∑ i2 j 1≤i≤j≤n donde parece complicada la interpretación, pero en verdad es bastante sencilla, será la suma de todos aquellos términos i y j que cumplan con el dominio (1 ≤ i ≤ j ≤ n) ∑ i2 j 1≤i≤j≤n = (1)(2 1 ) + (1)2 2 + (1)(2 3 ) + ⋯ + (1)(2 n) + +(2)(2 2 ) + 2(2 3 ) + 2(2 4 ) + ⋯ + (2)(2 n) + +(3)(2 3 ) + 3(2 4 ) + 3(2 5 ) + ⋯ + 3(2 n) + ...