Title Bài 20_ _Đề bài_Toán 10_KNTT.pdf ✅

BÀI 20. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thằng với phương trình tồng quát 1 1 1 1 2 2 2 2 D + + = D + + = : 0 và : 0. a x b y c a x b y c Toạ độ điểm chung của D1 và D2 là nghiệm của hệ phương trình: 1 1 1 2 2 2 0 0. ì + + = í î + + = a x b y c a x b y c Khi đó: - D1 cắt D Û2 hệ (I) có nghiệm duy nhất - D1 song song với D Û2 hệ (I) vô nghiệm - D1 trùng D Û2 hệ (I) có vô số nghiệm . Trong trường hợp 2 2 2 a b c , , đều khác 0 thì ta có: - D1 và D2 cắt nhau 1 1 2 2 Û 1 a b a b ; - D1 song song với 1 1 1 2 2 2 2 D Û = 1 a b c a b c ; - D1 trùng 1 1 1 2 2 2 2 D Û = = a b c a b c . Xét hai đường thẳng D1 và D2 có hai vectơ chỉ phương 1 2 , uur ru u và hai vectơ pháp tuyến 1 2 , ur uur n n . Lấy một điềm M thuộc D1 . Khi đó ta cũng có kết quả sau: - D1 và D2 trùng nhau khi và chỉ khi 1rn cùng phương với 2 rn (hoặc 1 uru cùng phương với 2 ru ) và M thuộc D2 . - D1 và D2 song song khi và chỉ khi 1 urn cùng phương với 2 uurn (hoặc 1 uru cùng phương với 2 ru ) và M không thuộc D2 . - D1 và D2 cắt nhau khi và chỉ khi 1 urn không cùng phương với 2 uurn (hay khi và chỉ khi 1ru không cùng phương với 2 ru ). 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng cắt nhau 1 1 1 1 2 2 2 2 D + + = D + + = : 0 và : 0. a x b y c a x b y c Khi đó, 1 1 1 2 2 2  ; , ;    ur uur n a b n a b tương ứng là các vectơ pháp tuyến của 1 2 D D, và góc j giữa hai đường thẳng 1 2 D D, được xác định thông qua công thức   1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 cos cos , . j × + = = = × + + ur uur ur uur ur uur n n a a b b n n n n a b a b Hai đường thẳng 1 2 D D, vuông góc với nhau khi và chỉ khi 1 2 1 2 1 2 cos 0 0. j = Û × = + = ur uur n n a a b b 3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Cho điểm M x y  0 0 ;  và đường thẳng D + + = : 0 ax by c . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D , kí hiệu là d M( , ) D , được tính bởi công thức 0 0 2 2 ( , ) . + + D = + ax by c d M a b
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. 1. Phương pháp giải: Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 d a x b y c d a x b y c : 0; : 0 + + = + + = . Ta xét hệ 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c ìï + + = í ï + + = î (I) + Hệ (I) vô nghiệm suy ra 1 2 d d / / . + Hệ (I) vô số nghiệm suy ra 1 2 d d o + Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. Chú ý: Với trường hợp 2 2 2 a b c . . 0 1 khi đó + Nếu 1 1 2 2 a b a b 1 thì hai đường thẳng cắt nhau. + Nếu 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = 1 thì hai đường thẳng song song nhau. + Nếu 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = = thì hai đường thẳng trùng nhau. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau a) 1 2 D + - = D + - = : 2 0; : 2 3 0 x y x y b) 1 2 D - - + = D + - = : 2 5 0; : 2 4 10 0 x y x y c) 1 2 D - + = D - = : 2 3 5 0; : 5 0 x y x d) 1 2 D + + = D - - = : 2 3 4 0; : 4 6 0 x y x y Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB BC CA , , là AB x y BC x y CA x y : 2 2 0 ; : 3 2 1 0 ; : 3 3 0 - + = + + = + + = . Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng D - - = : 3 2 0 x y Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 2 1 D - + + - = : ( 3) 2 1 0 m x y m và 2 2 D - + + - = : ( 1) 0 x my m . a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của D1 và D2 trong các trường hợp m m = = 0, 1 b) Tìm m để hai đường thẳng song song với nhau. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác trong trường hợp sau
a) Biết A(2;2) và hai đường cao có phương trình 1 d x y : 2 0 + - = 2 ; : 9 3 4 0 d x y - + = . b) Biết A(4; 1) - , phương trình đường cao kẻ từ B là D - = : 2 3 0 x y ; phương trình trung tuyến đi qua đỉnh C là D + = ' : 2 3 0. x y Dạng 2. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. 1.Phương pháp giải. Để tính khoảng cách từ điểm M x y ( 0 0 ; ) đến đường thẳng V: 0 ax by c + + = ta dùng công thức 0 0 0 2 2 ( , ) ax by c d M a b + + = + V 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường thẳng V: 5 3 5 0 x y + - = a) Tính khoảng cách từ điểm A(-1;3) đến đường thẳng D b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song D và V': 5 3 8 0 x y + + = Ví dụ 2: Cho 3 đường thẳng có phương trình 1 2 3 V V V : 3 0; : 4 0; : 2 0 x y x y x y + + = - - = - = Tìm tọa độ điểm M nằm trên V3 sao cho khoảng cách từ M đến V1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến V2 . Ví dụ 3: Cho ba điểm A B (2;0 , 3;4 ) ( ) và P (1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A B C (1; 2), (5;4), ( 2,0) - - . Hãy viết phương trình đường phân giác trong góc A. Ví dụ 5: Cho điểm C-2;5 và đường thẳng D - + = : 3 4 4 0 x y . Tìm trên D hai điểm A B, đối xứng với nhau qua 5 2; 2 I æ ö ç ÷ è ø và diện tích tam giác ABC bằng 15. Dạng 3: Bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng. 1.Phương pháp giải: • Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , góc giữa hai đường thẳng 1 2 D D; có phương trình ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) : 0, a 0 ( ) : 0, a 0 a x b y c b a x b y c b D + + = + 1 D + + = + 1 được xác định theo công thức: ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos , a a bb a b a b + D D = + +
• Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phương( hoặc vectơ pháp tuyến ) của chúng cos , cos , cos , (D D = = 1 2 1 2 1 2 ) (u u n n ) ( ) ur uur uur uur . 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau: a) 1 2 : 3 2 1 0; : ( ) 7 5 x t x y t R y t ìï = D - + = D Î í ï = - î b) 1 2 ( ) ( ) 1 2 4 ' : : ' 1 2 5 2 ' x t x t t R t R y t y t ì ì ï ï = - = - D Î D Î í í ï ï = + = - î î Ví dụ 2: Tìm m để góc hợp bởi hai đường thẳng 1 V : 3 7 0 x y - + = và 2 V : 1 0 mx y + + = một góc bằng 0 30 Ví dụ 3: Cho đường thẳng d x y : 3 2 1 0 - + = và M (1;2). Viết phương trình đường thẳng D đi qua M và tạo với d một góc 45o . Ví dụ 4: Cho 2 đường thẳng 1 2 D - + = D + - = : 2 1 0; : 2 7 0 x y x y . Viết phương trình đường thẳng D qua gốc toạ độ sao cho D tạo với D1 và D2 tam giác cân có đỉnh là giao điểm D1 và D2 . Dạng 4. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng thỏa một tính chất nào đó 1. Phương pháp giải. Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau: • Điểm A thuộc đường thẳng 0 0 : , x x at t R y y bt ìï = + D Î í ï = + î ( hoặc 0 0 : x x y y a b - - D = ) có dạng A x at y bt ( 0 0 + + ; ) • Điểm A thuộc đường thẳng D + + = : 0 ax by c (ĐK: 2 2 a b + 1 0 ) có dạng ; at c A t b æ ö ç - - ÷ è ø với b 1 0 hoặc ; bt c A t a æ ö ç- - ÷ è ø với a 1 0 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường thẳng D - - = : 3 4 12 0 x y a) Tìm tọa độ điểm A thuộc D và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn b) Tìm điểm B thuộc D và cách đều hai điểm E (5;0), F (3; 2 - ) c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M (1;2) lên đường thẳng D Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng D - + = : 2 6 0 x y và 1 ' : x t y t ìï = - - D í ï = î .