Title 4. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 Chương trình mới.pdf ✅

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 Chương trình mới GV Toán: Nguyễn Thế Bình – Zalo: 0989488557 BẤT ĐẲNG THỨC I. Các kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a b  ( a b a b a b  ; ; ) là một bất đẳng thức Ta có 0 0 A B A B A B A B    −      −  2. Các tính chất a. Tính chất bắc cầu: a b a c b c        b. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a b a c b c   +  + Hệ quả 1: a b a c b c   −  − c. Cộng, trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho a b a c b d c d     +  +   (lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế ) d. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số Ta có: ; 0 . . ; 0 . . a b c a c b c a b c a c b c             Hệ quả: ( 0) ( 0) a b a b a b c c c a b a b c c c    −  −                   e. Trừ từng vế của bất đẳng thức ngược chiều: a b a c b d c d     −  −   f. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: a b c d ac bd      0; g. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: - 0 n n a b a b     - n n a b a b    (n: lẻ) - n n a b a b    (n: chẵn) h. Lấy căn * 0, n n a b n N a b     
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 Chương trình mới GV Toán: Nguyễn Thế Bình – Zalo: 0989488557 Hệ quả: a b, 0  , có: 2 2 2 2 a b a b a b a b a b         ; , 0 i. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu - 1 1 a b 0 0 a b      - 1 1 a b ab , 0 a b     II. Các hằng đẳng thức 1. 2 2 a a  −  0; 0 2. a a   = 0 0 3. a a a    0 4. a b a b ab +  +   0 5. ab 0 a b a b a b   −  −      III. Các bổ đề hay sử dụng 1. 2 2 a b ab +  2 2. 2 2 ( ) 4 ( osi) 2 a b ab a b ab c   +     +    3. 1 1 4 ( , 0) a b a b a b +   + 4. 2( , 0) a b a b b a +   5. ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b x y ax by bunhiacopski + +  + IV. Các dạng toán Dạng 1: Dùng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương Cách giải: Để chứng minh: A B  ta xét hiệu A B − và chứng minh A B−  0 Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: 2 2 2 a b c ab bc ca + +  + + (1) Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 (1) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0  + +  + +  − + − + −  a b c ab bc ca a b b c c a (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra  = = abc Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: 2 ( ) 3 ( )(1) ab bc ca abc a b c + +  + +
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 Chương trình mới GV Toán: Nguyễn Thế Bình – Zalo: 0989488557 Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 0 2(...) 0 ( ) ( ) ( ) 0  + + − − −     − + − + −  a b b c c a a bc ab c abc ab bc bc ca ca ba (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra  = = =  = = ab bc bc ca ca ab a b c ; ; Bài 3: Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e a b c d e R + + + +  + + +   , , , , , Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 4 4 4 4 a a a a a b c d e a b c d e ab b ac c ad d ae e + + + +  + + +  − + + − + + − + + − +  2 2 ... 0 2 2 a a b e      − + + −          (luôn đúng) Bài 4: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0    abc . Chứng minh rằng: a b c b a c b c a a c b + +  + + Lời giải Xét hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) a b c b a c 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c ab bc b c ba ac a c b c b a ab c b ac b c a a c b abc abc + + − − − = + + − − − = − + − + −     1 1 2 c a b a b ab a b c a b a b b c c a do a b c ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 0( : 0 ) abc abc = − + + − − − = − − −         (đpcm) Bài 5: Chứng minh rằng: 1 1 1 2( ) a b c bc ac ab a b c + +  + + với abc , , 0  Lời giải Xét hiệu 2 2 2 2 0 2 2 2 0 a b c bc ac ab a b c bc ca ab bc ac ab abc abc abc    + + − + +   + + − − −      ( ) 2  + −  a b c 0 (đpcm)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 Chương trình mới GV Toán: Nguyễn Thế Bình – Zalo: 0989488557 Bài 6: Chứng minh rằng nếu a b +  2 thì 3 3 4 4 a b a b +  + Lời giải Xét hiệu: 4 4 3 3 3 3 3 3 a b a b a a b b a a a a b b b b + − − = − + − = − − − + − + − − − + − ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 3 2 2 2 2 = − − + − − + + − = − + + + − + + + + −  + + = ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 0 0 0 0 a a b b a b a a a b b b a b (đpcm) Bài 7: Chứng minh rằng abc , , , ta luôn có 4 4 4 a b c abc a b c + +  + + ( ) Lời giải Ta có: 4 4 4 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 1 ( ) (2 2 2 2 2 2 ) 2 a b c abc a b c a b c a bc b ac c ab a b c a bc b ac c ab + + − + + = + + − − − = + + − − − 1 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 = − + + + − + + + − + + − − −   a a b b a b a a c c a c b b c c b c a bc b ac c ab   1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 = − + − + − + + − + + − + + −   a b a c b c a b b c ab c b c c a abc a b c a a bc   1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 2 = − + − + − + − + − + −     a b b c c a ab bc bc ca ab ac a b c   (đpcm)