Title Chuyên đề 22_Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng_Lời giải.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ 22_ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng P nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong P . Kí hiệu: ΔP . 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. 3. Tính chất  Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P và mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q thì a vuông góc với Q .  Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P mà đường thẳng a song song với đường thẳng b thì b vuông góc với P . B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAABCD . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và .SD a) Chứng minh rằng ,BCSABCDSAD . b) Chứng minh rằng ,AMSBCANSCD . c) Chứng minh rằng SCAMN và MN // BD . d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng AMN . Chứng minh rằng tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc. Lời giải a) Do SAABCDSABC . Mặt khác ABCD là hình vuông nên BCAB . Khi đó     BCAB BCSAB BCSA . Tương tự chứng minh trên ta có: CDSAD . b) Do BCSABBCAM . Mặt khác AMSBAMSBC Tương tự ta có: ANSCD . c) Do      AMSBCAMSC SCAMN ANSCANSCD . Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên CMDN . Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN // BD .
d) Do ABCD là hình vuông nên ACBD , mặt khác SABDBDSAC . Do MN // BDMNSACMNAK . Câu 2: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng BCD trùng với trực tâm của tam giác .BCD b) Chứng minh rằng 2222 1111  AHABACAD . c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn. Lời giải a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng BCD thì AHBCD . Ta có:     ADAB ADABCADBC ADAC . Mặt khác AHBCBCADHBCDH Tương tự chứng minh trên ta có: BHCD Do đó H là trực tâm của tam giác .BCD b) Gọi EDHBC , do BCADHBCAE . Xét ABC vuông tại A có đường cao AE ta có: 222 111  AEABAC . Lại có: 222222 111111  AHADAEABACAD (đpcm). c) Đặt ;ABx ACy và ADz . Ta có: 22 22 22          BCxy BDxz CDyz Khi đó 2222 cos090 2...  BCBDCDx BCBD BCBDBCBD Tương tự chứng minh trên ta cũng có   90 90 BDC BCD      tam giác BCD có 3 góc nhọn. Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SAABC , các tam giác ABC và SBC là các tam giác nhọn. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và .SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy. b) SCBHK . c) HKSBC . Lời giải a) Giả sử AHBC tại M.
Ta có:     BCAM BCSAMBCSM BCSA Mặt khác ,,SKBCSKM thẳng hàng do đó AH, SK, BC đồng quy tại điểm M. b) Do H là trực tâm tam giác ABC nên BHAC Mặt khác BHSABHSACBHSC . Lại có: BKSCSCBHK . c) Do SCBHKSCHK , mặt khác BCSAMBCHK . Do đó HKSBC . Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có ,SASCSBSD . a) Chứng minh rằng SOABCD . b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA và .BC Chứng minh rằng IKSBD và IKSD . Lời giải a) Do SAACSAC cân tại S có trung tuyến SO đồng thời là đường cao suy ra SOAC . Tương tự ta có: SOBDSOABCD . b) Do ABCD là hình thoi nên ACBD Mặt khác SOABCDACSO Do vậy ACSBD . IK là đường trung bình trong tam giác BAC nên IK // AC mà ACSBDIKSBD . Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và .CD a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông. b) Chứng minh rằng ;SISCD SJSAB . c) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ, chứng minh rằng SHABCD . Lời giải a) Ta có: SAB đều cạnh a nên 3 2a SI Tứ giác IBCJ là hình chữ nhật nên IJBCa . SCD là tam giác vuông cân đỉnh S 22CDa SJ . Do đó 2222SJSIIJaSIJ vuông tại S. b) Do SCD cân tại S nên SJCD Do AB // CDSJAB .
Mặt khác SJSISJSAB . Chứng minh tương tự ta có: SISCD . c) Do SISCDSICD Mặt khác CDIJCDSIJCDSH . Do SHIJSHABCD . Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, điểm I và H lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho 2MCMI , 2NANS . Biết SHABC , chứng minh MNABC . Lời giải Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI và 2MCMI  M là trọng tâm tam giác ABC MAHCI . Ta có: 2NAMA MN // SH NSMH . Mặt khác SHABCMNABC . Câu 17: Cho hình chóp .SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi AE , AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SCAED . B. SCACE . C. SCAFB . D. SCAEF . Lời giải Chọn D F CB A D S E