Title Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Bến Tre 2021-2022 [Đáp Án].pdf ✅

CHUYÊN TOÁN - CHUYÊN BẾN TRE Giải chi tiết đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bến Tre năm học 2021-2022 1 Lời giải đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bến Tre năm học 2021 – 2022 Lời giải: Đoàn Quang Đăng, T19-22 Biên tập: Nguyễn Song Thiên Long, T20-23 1 Đề thi Câu 1 Cho hàm số y = 2 x − 1 x − 2 có đồ thị ( C ), đường thẳng d : y = − x + m ( m là tham số) và hai điểm M (3; 4 ) , N (4; 5 ). Tìm các giá trị thực của m để đường thằng d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho 4 điểm A , B , M , N lập thành tứ giác lổi AMBN có diện tích bằng 2. Câu 2 Giải phương trình (2 sin x + 1) (3 cos 4 x + 2 sin x ) + 4cos 2 x + 1 1 + sin x = 8 . Câu 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm thực 2 x + 1 = m √ x 2 + 1 . Câu 4 Một hộp chứa 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi rồi cộng các số ghi trên 6 viên bi đó với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ. Câu 5 a) Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng cách bình phương của chúng bằng 125. b) Cho dãy số ( u n ) biết  u 1 = 16 u n + 1 + 14 = 15 ( n . u n + 1 ) n + 1 , ∀ n ⩾ 1 . Tìm số hạng tổng quát u n . Câu 6 Cho a , b là các số thực thỏa mãn a , b ∈ 14 ; 2 và a + b = 4ab. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ( a − b ) 2 − 2 ( a + b ) . THPT CHUYÊN BẾN TRE
CHUYÊN TOÁN - CHUYÊN BẾN TRE 2 Câu 7 Cho tam giác ABC với điểm D trên cạnh BC ( D ̸= B , D ̸= C ) và điểm M trên đoạn AD ( M ̸= A , M ̸= D ). Gọi I , K lần lượt là trung điểm của MB , MC. Tia D I cắt AB tại điểm P, tia DK cắt AC tại điểm Q. Chứng minh PQ ∥ IK . Câu 8 Cho hình chóp S .ABCD là hình vuông cạnh 2 a. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và BC , H là giao điểm của AF và DE. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD ) và góc giữa đường thẳng SA và (ABCD ) bằng 60 ◦ . Tính thể tích khối chóp S .ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SH , DF theo a . 2 Lời giải 1 Câu 1 Cho hàm số y = 2 x − 1 x − 2 có đồ thị ( C ), đường thẳng d : y = − x + m ( m là tham số) và hai điểm M (3; 4 ) , N (4; 5 ). Tìm các giá trị thực của m để đường thằng d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho 4 điểm A , B , M , N lập thành tứ giác lổi AMBN có diện tích bằng 2. Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và d : 2 x − 1 x − 2 = − x + m ⇔ x 2 − mx + 2 m − 1 = 0 ( 1 ) (với x ̸= 2 ) . Đường thẳng d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B khi ( 1 ) có hai nghiệm phân biệt khác 2. ⇔ ( m 2 − 8 m + 4 > 0 4 − 2 m + 2 m − 1 ̸= 0 ⇔ m < 4 − 2 √ 3 ∨ m > 4 + 2 √ 3 ( 2 ) . Ta có A ( x 1 ; − x 1 + m ) , B ( x 2 ; − x 2 + m ) với x 1 ; x 2 là hai nghiệm của ( 1 ) . Đường thẳng MN có phương trình: y = x + 1 . Dễ thấy MN ⊥ d, nên để A , B , M , N lập thành tứ giác lổi AMBN có diện tích bằng 2. ⇒ SAMBN = 12 .AB .MN = AB . √ 2 2 = 2 . ⇒ AB = 2 √ 2 và M , N nằm về 2 phía đường thẳng d ≡ AB . Ta có 1Lời giải chỉ mang tính chất tham khảo. THPT CHUYÊN BẾN TRE
CHUYÊN TOÁN - CHUYÊN BẾN TRE Giải chi tiết đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bến Tre năm học 2021-2022 3 AB = 2 √ 2 ⇔ q 2 ( x 1 − x 2 ) 2 = 2 √ 2 ⇔ ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 − 4 = 0 ⇔ m 2 − 8 m = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = 8 (thoả ( 2 ) ) . • Với m = 0 thì A ( −1; 1 ) , B (1; − 1 ). Khi đó tứ giác AMBN không là tứ giác lồi ⇒ loại m = 0 . • Với m = 8 thì A (5; 3 ) , B (3; 5 ). Khi đó tứ giác AMBN là tứ giác lồi ⇒ nhận m = 8 . Vậy m = 8 . □ Câu 2 Giải phương trình (2 sin x + 1) (3 cos 4 x + 2 sin x ) + 4cos 2 x + 1 1 + sin x = 8 . Lời giải. Điều kiện: 1 + sin x ̸= 0 ⇔ sin x ̸= − 1 ⇔ x ̸= − π2 + k 2 π , k ∈ Z ( ∗ ) . Với điều kiện ( ∗ ), phương trình đã cho tương đương với (2 sin x + 1) (3 cos 4 x + 2 sin x ) + 4 1 − sin 2 x + 1 = 8 ( 1 + sin x ) ⇔ (2 sin x + 1) (3 cos 4 x + 2 sin x ) − (2 sin x + 1) (2 sin x + 3 ) = 0 ⇔ 3 (2 sin x + 1) (cos 4 x − 1 ) = 0 ⇔  sin x = − 12 cos 4 x = 1. . • Với sin x = − 12 ⇔  x = − π6 + k 2 π x = 7 π6 + k 2 π (thoả mãn điều kiện ( ∗ )). • Với cos 4 x = 1 ⇔ 4 x = k 2 π ⇔ x = k π2 , so sánh điều kiện ( ∗ ) thì phương trình có nghiệm x = k π , x = π2 + k 2 π . Vậy S = − π6 + k 2 π ; 7 π6 + k 2 π ; k π ; π2 + k 2 π , k ∈ Z . □ THPT CHUYÊN BẾN TRE
CHUYÊN TOÁN - CHUYÊN BẾN TRE 4 Câu 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm thực 2 x + 1 = m √ x 2 + 1 . Lời giải. Điều kiện: x ∈ R . Ta có 2 x + 1 = m √ x 2 + 1 ⇔ m = 2 x + 1 √ x 2 + 1 . Xét hàm số f ( x ) = 2 x + 1 √ x 2 + 1 trên R . f ′ ( x ) = 2 √ x 2 + 1 − ( 2 x + 1 ) x √ x 2 + 1 x 2 + 1 = − x + 2 ( x 2 + 1 ) √ x 2 + 1 , f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên x f ′ ( x ) f ( x ) − ∞ 2 + ∞ + 0 − − 2 √ 5 2 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có nghiệm thực khi m ∈ −2; √ 5 i . □ Câu 4 Một hộp chứa 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi rồi cộng các số ghi trên 6 viên bi đó với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ. Lời giải. Gọi T là phép thử ngẫu nhiên chọn 6 viên bi từ 11 viên bi trong hộp. Vì chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong một hộp chứa 11 viên bi nên số phần tử của không gian mẫu là |Ω| = C 6 11 = 462 . Gọi A là biến cố “các số ghi trên 6 viên bi cộng với nhau thu được kết quả là một số lẻ” . Trong các số tự nhiên từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1. 1 viên bi số lẻ và 5 viên bi chẵn: Số cách chọn là C 16 . C 55 = 6 . Trường hợp 2. 3 viên bi số lẻ và 3 viên bi chẵn: Số cách chọn là C 36 . C 35 = 200 . THPT CHUYÊN BẾN TRE