Title +COURS ANALYSE4 SMA3 FPK-KHOURIBGA 20-21.pdf ✅

CPGE, SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE CHIMIE MATH INFORMATIQUE Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 PAR WHATSAPP :06-02-49-49-25 FPK-KHOURIBGA SMA3 COURS ANALYSE 4 2020-2021 http://saborpcmath.com/ https://sites.google.com/view/sabor-pc-math
Sciences des Mathématiques et Applications Analyse 4 y ̈ = −2my ̇ − w 2 0 y + A cos(ωx) t SN t 0 t SN t 0 t SN t 0 Pr. Khalid ISKAFI Regarder ce cours 2020-2021
Table des matières Table des figures III 1 Séries numériques 1 1.1 Séries à termes réels ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Propriétés des séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.5 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Comparaison d’une série à une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Calcul approché et estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Suites de fonctions 12 2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Séries de fonctions 19 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.2 Convergence uniforme de certaines séries alternées . . . . . . . . . 21 3.3.3 Critère de Cauchy uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.4 Règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5.1 Convergence uniforme et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5.2 Convergence uniforme et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5.3 Convergence uniforme et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5.4 Convergence uniforme et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I
TABLE DES MATIÈRES K. ISKAFI Regarder ce cours 4 Séries entières 28 4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Rayon et disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.1 Théorème de convergence (lemme d’Abel) . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.2 Rayon et disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.3 Rayon de convergence de la somme et du produit . . . . . . . . . 30 4.3 Propriétés de la somme d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3.1 Continuité de la somme d’une série entière . . . . . . . . . . . . . 31 4.3.2 Dérivation et intégration des séries entières . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 Développement d’une fonction en série entière . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4.1 Problème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4.2 Série de Taylor d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4.3 Conditions pour le développement en série entière . . . . . . . . . 33 4.4.4 Comparaison avec les développements limités . . . . . . . . . . . 34 4.5 Méthodes et développements classiques en série entière . . . . . . . . . . 34 4.5.1 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5.2 Illustration graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5.3 Dérivation et intégration terme à terme . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.5.4 Utilisation d’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5 Séries de Fourier 39 5.1 Décomposition de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.3 Théorème de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1.4 Représentations fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.1.5 Forme complexe d’une série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Fonction T-périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.1 Décomposition d’un signal T-périodique . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.2 Théorèmes de convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . 45 5.3 Résolution des équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.1 Equations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.2 Equations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 II