Title Đề Thi Olympic Toán Trại Hè Hùng Vương 2015 (Khối 10) [Đáp Án].pdf ✅

WWW.MOLYMPIAD.ML Câu 1 (4 điểm). Giải phương trình sau trên tập số thực 3 2 3 x x x x x        3 1 6 2 5. Câu 2 (4 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn ( ) O . Gọi H là trực tâm tam giác ABC và P là điểm trên đoạn BC ( P B P C   ; ). Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại T (T H ). Đường thẳng TP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại K ( K T  ). Giả sử BK cắt AC tại M; CK cắt AB tại N. Gọi X Y, lần lượt là trung điểm của BN, CM. a) Chứng minh rằng tứ giác ANKM nội tiếp. b) Chứng minh rằng XPY có số đo không đổi khi P di động trên đoạn BC. Câu 3 (4 điểm). Xét các số thực dương x y z , , thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 1 1 3 x y z    . Chứng minh rằng 4 4 4 3 1 2 1 2 1 2 4 x y z x xy y yz z zx    .       Câu 4 (4 điểm). Với tam thức bậc hai 2 ax bx c   cho phép thực hiện các phép biến đổi sau: (i) đổi chỗ a và c cho nhau, hoặc (ii) thay x bởi x t  với t là một số thực bất kì. Bằng cách lặp lại các phép biến đổi trên có thể biến đổi tam thức 2 x x   8 2015 thành tam thức 2 2016 8 1 x x   hay không ? Câu 5 (4 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 7 5 4 3 2 n n n n n      2 1 có đúng một ước số nguyên tố. --------------------------- HẾT ---------------------------  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: ......................... TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - KHỐI:10 Ngày thi: 01 tháng 8 năm 2015 Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC
WWW.MOLYMPIAD.ML 1 Câu Nội dung Điểm 1 3 2 3 x x x x x        3 1 6 2 5 (1).     3 2 3           x x x x x 3 1 2 6 2 3 0 3 2 3 3 2 3 3 5 6 7 0 3 1 2 6 2 3 x x x x x x x x x x                1,0       2 2 3 2 3 1 2 5 1 7 0 3 1 2 6 2 3 x x x x x x x x x x x                 1,0   2 2 3 2 3 2 5 7 1 0 3 1 2 6 2 3 x x x x x x x x x x                        x 1. 1,0 Thử lại x 1 thỏa mãn (1). 1,0 Nguồn: Bắc Giang 2 Nguồn: Yên Bái a) Dễ thấy 0 BHC A   180 . Từ đó suy ra 0 0 MKC BKC BHC A      180 180 . 1,0 Do đó 0 NKM A   180 suy ra tứ giác ANKM nội tiếp. 1,0 b) Ta có 0 BTC BHC BAC    180 nên T đối xứng với A qua BC. Do đó PKC TBC ABC B    , suy ra tứ giác PKNB nội tiếp. Tương tự ta có tứ giác PKMC nội tiếp. 1,0 Do đó PMC PKC B PBN MPC MKC NKB NPB       ; suy ra   PBN PMC. Vì X Y, là hai trung điểm tương ứng của BN CM , nên XPB MPY  , từ đó suy ra 0 0 0 XPY BPM MPC MKC A        180 180 180 không đổi. 1,0 3 Ta có   4 2 4 x x x xy x x y        1 2 1 2 2 . Do đó,   4 1 1 2 2 x x xy x y     . 1,0 Tương tự,     4 4 1 1 1 2 1 2 2 2 y z y yz z zx y z z x   ;       . 1,0 TRẠI HÈ HÙNG VѬƠNG LҪN THỨ XI ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - KHỐI:10 (đáp án gồm 02 trang) O H T K X N Y M A B P C
WWW.MOLYMPIAD.ML 2 Do đó, 2 2 2 4 2 4 2 4 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 x y z x x y y y z z z x x y y z z x (* )                     , áp dụng bất đẳng thức quen thuộc 1 1 4 x y x y   (* * )  , suy ra 1,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 x y y z z x x y y z z x 4 2 (* * )                   . Từ (*) và (**) suy ra bất đẳng thức đã cho đúng. 1,0 Nguồn: Lào Cai 4 Với tam thức 2 f x ax bx c ( )    , kí hiệu biệt thức của f x( ) là 2 4    f b ac. Với phép biến đổi (i), 2 ax bx c   biến đổi thành 2 cx bx a   , suy ra chúng có cùng biệt thức là 2    b ac 4 . 1,0 Với phép biến đổi (ii), gọi 1 2 x x; là nghiệm của 2 1 f x ax bx c ( )    suy ra 1 2 x t x t   ; là nghiệm của       2 2 f x a x t b x t c      . 1,0 Vì 1 2 1 2 b c x x x x a a     ; nên         1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4 4 f f b c b ac a a x x a x t x t a a . . .                            . Tức là phép biến đổi này cũng không làm thay đổi biệt thức của tam thức. Do đó, các phép biến đổi trên không làm thay đổi biệt thức  của tam thức (*). 1,0 Mặt khác, các tam thức 2 x x   8 2015, 2 2016 8 1 x x   có biệt thức  là 8124;8128. Do đó, từ (*) suy ra yêu cầu bài toán là không thể thực hiện được. 1,0 Nguồn: Sѭu tҫm 5 Với n  0 , ta có 7 5 4 3 2 n n n n n       2 1 1 (không thỏa mãn). Với n 1, ta có 7 5 4 3 2 n n n n n       2 1 3 (thỏa mãn). 1,0 Xét n  2, ta có      7 5 4 3 2 3 4 n n n n n n n n n           2 1 1 1 * . Giả sử 7 5 4 3 2 n n n n n      2 1 có đúng một ước nguyên tố là p. 1,0 Vì n  2 nên     4 3 2 3 n n n n n n n n            1 1 1 1 1, suy ra tồn tại các số nguyên dương s t, sao cho s t  và 4 3 1 1 s t n n p n n p .          1,0 Ta có     2 4 3 1 1 1 s t n n n n n n p np          , suy ra   2 2 3 2 1 1 1 1 0 t n p n n n n n n           , vô lý. Vậy tất cả các giá trị cần tìm của n là n 1. 1,0 Nguồn: Vĩnh Phúc --------------------------------HẾT--------------------------------