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Universite Mohammed V, Rabat ́ Travaux dirig ́es Faculte des Sciences Mesures et Int ́ egration ́ Departement de Math ́ ematiques ́ SMA 5 - M28 - 2017-2018 S ́erie 1 - Tribus (σ-alg`ebres) Exercice 1 (Tribu trace (induite)): Soit X un ensemble non vide et C ⊂ X. On suppose que X est un espace topologique et que M est la tribu borelienne de ́ X, M = B(X). Montrer que la tribu trace MC := {A ∩ C; A ∈ M} de M = B(X) sur C est la tribu borelienne ́ B(C) de C. Exercice 2 (Tribu image directe). Soient X et Y des ensembles et f : X −→ Y une application. Soit M une tribu sur X. (1) Verifier que l’image ́ { f(A), A ∈ M} n’est pas forcement une ́ σ-algebre sur ` X. (2) Montrer que M0 = B ⊂ Y; f −1 (B) ∈ M est une tribu sur Y. (M0 est dite Tribu image directe de M par f .) Exercice 3 Soit X un ensemble infini et S = {{x} ; x ∈ X}. Determiner la tribu engendr ́ ee ́ par S (distinguer les cas X denombrable et non d ́ enombrable). ́ Exercice 4 Soit X un ensemble et f une application de X dans lui-meme. Montrer que ˆ l’ensemble des parties A de X telles que f −1 (f(A)) = A est une tribu sur X. Exercice 5 Soit f une bijection d’un ensemble X. Montrer que l’ensemble des parties A de X possedant la propri ́ et ́ e ́ x ∈ A ⇐⇒ f(x) ∈ A et f −1 (x) ∈ A est une tribu sur X. Exercice 6 Soit X un ensemble et A un sous-ensemble de X. Trouver la tribu engendree ́ par C = {B ⊂ X; A ⊂ B}. Donner des conditions suffisantes pour que σ(C ) soit P(X) ou la tribu grossiere. ` Exercice 7 (Tribu de Borel sur R+): Montrer que σ({[0; β[; β ∈ R ∗ +}) = B(R+) = σ({[0; β[; β ∈ Q ∗ +}). Exercice 8 (Tribu bor ́elienne de R2 - Devoir `a rendre): On note M la tribu (sur R2 ) engendree ́ par {A × B; A; B ∈ B(R)}. L’objectif est de montrer que M = B(R2 ). (1) Montrer que tout ouvert de R2 est reunion au plus d ́ enombrable de produits d’intervalles ́ ouverts de R. En deduire que ́ B(R2 ) ⊂ M. (2) Soit A un ouvert de R et M1 = B ∈ B(R); A × B ∈ B(R2 ) . Montrer que M1 est une tribu sur R contenant les ouverts de R. En deduire que ́ M1 = B(R). (3) Soit B ∈ B(R) et M2 = A ∈ B(R); A × B ∈ B(R2 ) . Montrer que M2 = B(R). (4) Montrer que M ⊂ B(R2 ). Conclure. S ́erie 2 - Fonctions mesurables Exercice 9 Soit (X,M) un espace mesurable et f : X −→ R une fonction mesurable. Pour tout reel ́ a > 0, on definit la fonction (dite tranqu ́ ee) ́ fa(x) :=    a si f(x) > a f(x) si | f(x)| ≤ a −a si f(x) < −a .
2 Montrer que fa est mesurable de X dans R. Exercice 10 Soit f une application d’un espace metrique ́ X dans un espace metrique ́ Y. On suppose que l’ensemble des points de discontinuite est d ́ enombrable. Montrer que ́ f est mesurable. Exercice 11 Soit (X,M) un espace mesurable et supposons qu’il existe A ∈ M dont les sous-ensembles ne soient pas tous mesurables, i.e., il existe B ⊂ A tel que B 6∈ M. Montrer que h = χB − χA\B n’est pas mesurable de X dans R, alors que |h| l’est. Exercice 12 (1) Montrer que f : R −→ R est mesurable si et seulement si pour tout a, b ∈ R, la restriction de f a` [a; b] est mesurable. (2) Montrer que les fonctions monotones d’un borelien ́ A de R dans R sont mesurables. (3) Montrer que toute fonction regl ́ ee de ́ R dans R est borelienne. On rappelle qu’une ́ fonction sur un segment est regl ́ ee si elle est limite uniforme de d’une suite de fonc- ́ tions en escalier. (4) Soit f : R −→ R+ une fonction mesurable positive. Montrer que la fonction fe : R −→ R+ definie par ́ fe(x) = f(x) pour tout x ∈ R, est mesurable, ou` R+ est muni de sa tribu borelienne. ́ Exercice 13 (Devoir `a rendre) Soit (X,M) un espace mesurable et f : X −→ R+ une ap- plication mesurable sur X. Pour tout entier n et tout k = 0, 1, · · · , n2 n − 1, on considere les ` ensembles An := { f ≥ n} et Ak,n := k 2 n ≤ f < k + 1 2 n . On definit les fonctions ́ φn par φn(x) := n pour x ∈ An k 2 n pour x ∈ Akn; avec k = 0, · · · , n2 n − 1 . (1) Verifier que ́ An, Ak,n sont dans M et forme une partition de X. (2) Montrer qu’on a φn(x) = nχ{ f≥n} (x) + n2 n−1 ∑ k=0 k 2 n χAkn (x). En deduire que ́ φn est une suite de fonction etag ́ ees. ́ (3) Verifier que ́ Ak,n = A2k,n+1 ∪ A2k+1,n+1 et comparer φn+1(x) et φn(x) dans les cas suivants: f(x) ≥ n + 1; n ≤ f(x) < n + 1; 0 ≤ f(x) ≤ n. En deduire que la suite ́ (φn)n est croissante. (4) Montrer que pour tout x verifiant ́ f(x) = +∞, on a lim n→+∞ φn(x) = +∞. (5) Montrer que pour tout x verifiant 0 ́ ≤ f(x) < +∞, il existe nx ∈ N tel que φn(x) ≤ f(x) < φn(x) + 1 2 n . En deduire que lim ́ n→+∞ φn(x) = f(x).
3 S ́erie 3 - Mesures positives Exercice 14 Soit X un ensemble infini non denombrable. On d ́ efinit sur ́ P(X) l’application μ(A) = 0 si A est au plus denombrable, et ́ μ(A) = +∞ sinon. Montrer que μ est une mesure sur P(X). Exercice 15 Soient (X;M, μ) un espace mesure et ́ (Y,M0 ) un espace mesurable. Soit f une application (M,M0 )-mesurable. Montrer que l’application definie par ́ μf(B) = μ(f −1 (B)) est une mesure sur (Y,M0 ). Exercice 16 Soient (X;M; μ) un espace mesure, ́ A une tribu sur X incluse dans M et MF la tribu trace de F ⊂ X. (1) Montrer que la restriction de μ a` A est une mesure. Est-elle finie (resp. σ-finie) si μ est finie (resp. σ-finie)? (2) Verifier que ́ MF ⊂ M si et seulement si F ∈ M. Montrer dans ce cas que la restriction de μ a` MF est une mesure sur MF. Cette mesure est-elle finie? Exercice 17 Soit (X;M; μ) un espace mesure fini, et ́ (An)n∈N et (Bn)n∈N deux suites d’el ́ ements de ́ M avec Bn ⊂ An pour tout n ∈ N. Montrer que μ [ n∈N An ! − μ [ n∈N Bn ! ≤ ∑ n∈N (μ(An) − μ(Bn)). Exercice 18 Soit (X;M; μ) un espace mesure fini et ́ (An)n∈N ⊂ M telle que, pour tout n ∈ N, μ(An) = μ(X). Montrer que μ( T n∈N An) = μ(X). Exercice 19 Soient (X,M, μ) un espace mesure et ́ (An)n∈N ⊂ M. Montrer que μ(lim supn An) = 0 sous l’hypothese que ` ∞ ∑ n=0 μ(An) < +∞. Exercice 20 Soit C ⊂ P(X), et m et μ deux mesures sur l’espace mesurable (X;M = σ(C )). On suppose que C est stable par intersection finie et que que m = μ sur C . Montrer que si X ∈ C et que m(X) < +∞, alors m = μ sur M. Exercice 21 (Devoirs `a rendre) Soient μ une mesure finie sur la tribu borelienne ́ B(R). On definit la fonction ́ ψ par ψ(x) := μ([x, +∞[) pour tout x ∈ R. (1) Montrer que ψ est decroissante et continue ́ a gauche sur ` R. Calculer les limites de ψ en ±∞. (2) Montrer que ψ est continue en x ∈ R si et seulement si μ({x}) = 0. (3) En deduire que l’ensemble ́ {x ∈ R; μ({x}) 6= 0} est denombrable. ́ On admettra que l’ensemble de points de discontinuit ́e d’une fonction monotone de R dans R est au plus d ́enombrable. Exercice 22 (Devoir `a rendre) Soit (X,M) un espace mesurable et μ : M −→ R + . Alors μ est une mesure sur (X,M) si et seulement si
4 (1) Pour tout A, B ∈ M tels que A ∩ B = ∅, on a μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B). (2) Pour toute suite (An)n decroissante d’ ́ el ́ ements de ́ M pour laquelle il existe n0 tel que μ(An0 ) < +∞, on a μ( \ n∈N An) = lim n∈N μ(An). S ́erie 4 - Mesure de Lebesgue Exercice 23 On designe par ́ I(R) l’ensemble des intervalles de R et considerons la fonction ` λ definie sur la classe ́ I(R) a valeurs dans la demi-droite r ` eelle achev ́ ee ́ R + par λ(I) := |I| ou` |I| est la longueur de l’intervalle I. (1) Montrer que λ est additive sur I(R). En deduire que pour toute famille finie d’intervalles ́ (Ik) N k=1 deux a deux disjoints telle que ` SN k=1 Ik ⊂ I avec I ∈ I(R), on a N ∑ k=1 λ(Ik) ≤ λ (I). (2) Montrer que pour tout compact K ∈ I(R) et toute recouverement finie (Ok) N k=1 ⊂ I(R) de K par des ouverts de R, on a λ (K) ≤ N ∑ k=1 λ (Ok). (3) Montrer que pour tout intervalle borne ́ In et tout ε > 0, il existe un ouvert On ∈ I(R) tel que In ⊂ On et λ(On) ≤ λ(In) + 2 −n ε. (4) Montrer que si I ∈ I(R) borne ́ I et ε > 0, alors il existe un compact K ∈ I(R) tel que K ⊂ I et λ(K) ≥ λ(I) − ε. (5) Soit (In)n≥1 ⊂ I(R) et I ∈ I(R) tels que I ⊂ S∞ n=1 In. Montrer que λ (I) ≤ ∞ ∑ n=1 λ (In). En deduire que ́ λ est σ-sous additive sur I(R). (6) Montrer que λ est σ-additive sur I(R). On designe par ́ U(R) l’algebre engendr ` ee par ́ I(R). (7) Montrer que toute ensemble el ́ ementaire ́ E ∈ U(R) peut s’ecrire sous la forme ́ E = [ N j=1 Ij , ou les ` Ij ∈ I(R) et sont deux a deux disjoints. ` (8) Montrer que λ se prolonge a une application bien d ` efinie sur ́ U(R). (9) Soit (En)n≥1 une suite d’el ́ ements de ́ U(R) deux a deux disjoints. Montrer que ` λ [∞ n=1 En ! = ∞ ∑ n=1 λ (En). Exercice 24 On designe par ́ λ la mesure de Lebesgue sur la tribu borelienne de ́ R.