Title Chuyên đề 3_ _Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 3: TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET VỚI NHỮNG BIỂU THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG Câu 1: Biết rằng phương trình 2 x x - + = 19 7 0 có hai nghiệm là 1 2 x x, , không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức:     2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 P x x x x x x x x x x = - + - + - + - 2 38 3 2 38 3 Lời giải Xét phương trình có 2 D = - = > Þ 19 4.7 333 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: 1 2 1 2 19 7 x x x x ì + = í î = Ta có 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình đã cho 2 1 1 2 2 2 19 7 0 19 7 0 x x x x ìï - + = Þ í ïî - + = Theo đề Câuta có:                   2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 38 3 2 38 3 2 19 7 14 3 2 19 7 14 3 17 17 17 7 17 .19 1900 P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = - + - + - + - = - + - + - + - + - + - é ù é ù ë û ë û = - + - = - + = - = . Câu 2: Cho phương trình   2 x mx m m - - - = 2 4 5 0 1 ( là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = -2 b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm 1 2 x x, thỏa mãn:   2 1 1 2 1 33 1 2 4059 2 2 x m x x m - - + - + = Lời giải a) Giải phương trình khi m = -2 Thay m = -2 vào phương trình 1 ta có: 2 x x + + = 4 3 0 Ta có a b c - + = - + = 1 4 3 0 nên phương trình có hai nghiệm 1 2 1 3 x x é = - ê ë = - Vậy khi m = -2 thì tập nghiệm là S = - -  1; 3 b) Tìm m Phương trình (1) có     2 2 2 D = - - = - + = - + > " ' 4 5 4 5 2 1 0, m m m m m m Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm 1 2 x x, với mọi m Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: 1 2 1 2 2 4 5 x x m x x m ì + = í î = - - . Theo Câura ta có:

    2 2 2 2 ' 1 6 0 2 1 6 0 7 2 7 0 2 m m m m m m m D = - - - 3 Û - + - + 3 Û - + 3 Û £ Khi đó áp dụng định lý Vi – ét ta có: 1 2 2 1 2 2 2 6 x x m x x m ì + = - í î = - Theo Câura ta có:         2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 4 2 2 3 2 1 6 2 2 6 3 2 1 6 2 9 * x x x mx x m x m x x m x m x m x x m + + - = - Û - - + - + + = - - Û - - + - + + = - Vì 1 x là nghiệm của phương trình đã cho nên   2 2 1 1 x m x m - - + - = 2 1 6 0 , do đó:              2 2 1 2 2 2 2 * 2 9 2. 2 2 9 4 4 9 4 5 0 5 5 0 1 5 1 0 1 0 1( ) 1 5 0 5 0 5( ) x x m m m m m m m m m m m m m m m tm m m m m ktm Û + = - Û - = - Û - = - Û - - = Û + - - = Û + - + = é é + = = - Û + - = Û Û ê ê ë ë - = = Vậy m = -1 Câu 5: Cho phương trình 2 x mx m - + - = 2 1 0 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m c) Gọi 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để 2 1 2 2 x mx x + - = 4 Lời giải a) Khi m pt = 2, thành 2 x x - + = 4 1 0 Ta có:   2 D = - - = > ' 2 1.1 3 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 x x = + = - 2 3; 2 3 b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Xét phương trình   2 x mx m - + - = 2 1 0 * ta có:       2 2 1 3 ' 1. 1 1 0 2 4 ' 0 m m m m m m m æ ö D = - - = - + = - + > " ç ÷ è ø Þ D > " Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi – et ta có: 1 2 1 2 2 1 x x m x x m ì + = í î = - . Theo Câura ta có:
               2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 1 4 4 4 1 .2 4 1 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 1 0 1 x x mx x x x x m x x x x x x x x x m m m m m m m m m m m m m m m m + - = Û + - = Û + = Û + = Û - = Û - = Û - - = Û - + - = é = Û - + - = Û - + = Û ê ë = - Vậy m m = - = 1, 2 thỏa đề. Câu 6: Cho phương trình 2 x mx - - = 8 0 . Chứng minh với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1, 2 x x và giá trị của biểu thức 2 2 1 1 2 2 1 2 2 5 16 2 5 16 3 3 x x x x H x x + - + - = = không phụ thuộc vào m. Lời giải Có 2 2 D = - - - = + > " ( ) 4.1.( 8) 32 0 m m m . Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm 1, 2 x x phân biệt với mọi m. Theo định lý Viét, ta có 1 2 1 2 8 0 0, 0 c x x x x a = = - < Þ 1 1 . Do 1, 2 x x là hai nghiệm của phương trình 2 x mx - - = 8 0 nên 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 8 0 8 8 0 8 x mx x mx x mx x mx ì ì ï ï - - = = + í í Û ï ï î î - - = = + Thay vào H, ta được  1 1 2 2    1 2 2 8 5 16 2 8 5 16 3 3 mx x mx x H x x + + - + + - = - =  1 1  2 2 1 2 2 8 5 16 2( 8) 5 16 3 3 mx x mx x x x + + - + + - - 1 1 2 2 1 2 2 5 2 5 2 5 2 5 0 3 3 3 3 mx x mx x m m x x + + + + = - = - = Không phụ thuộc vào m (đpcm). Câu 7: Cho phương trình 2 x x m - + - = 2 1 0. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, thỏa mãn 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 4 x x x x x x + = + + + + . Lời giải Có 2 D = - - - = - ' ( 1) 1.( 1) 2 m m . Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, khi D > Û - > Û < ' 0 2 0 2 m m . Do 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình 2 x x m - + - = 2 1 0 nên 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 x x m x x m x x m x x m ì ì ï ï - + - = = - + í í Û ï ï î î - + - = = - + Thay vào 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 4 x x x x x x + = + + + + , ta được