Title Chuyên đề 7. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY.doc ✅

CHƯƠNG 10: Chuyên đề7. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY. A. Kiến thức cần nhớ 1. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 2. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Đảo lại, trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy (h.7.1). 3. Trong một đường tròn:  Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;  Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. 4. Trong hai dây của một đường tròn:  Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn;  ; . OHABOKCD ABCDOHOK   Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn (h.7.2). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn đường kính AB và ba dây ,,ACADAE không qua tâm. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của D trên AC và AE. Chứng minh rằng HKAB . Giải Gọi I là trung điểm của AD. Ta có . 2 AD IHIKIAID Suy ra bốn điểm K, H, A, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính AD. Mặt khác, 90HAK nên KH là dây cung không qua tâm của đường tròn đường kính AD. Trong đường tròn, đường kính là dây lớn nhất nên .HKAD Mặt khác, ADAB nên HKAB . Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng AD làm trung gian, AD là đường kính của đường tròn này nhưng lại là dây cung của đường tròn khác. Ví dụ 2. Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau và song song. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Giải Tứ giác ABCD có AB // CD và ABCD nên là hình bình hành. Suy ra AC // BD và .ACBD Qua O vẽ một đường thẳng vuông góc với AC tại H, cắt BD tại K. Vì AC // BD nên .OKBD Ta có 11 ; 22HAACKBBD (tính chất đường kính vuông góc với dây cung). Suy ra HAKB (vì ACBD ). Tứ giác ABKH có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành. Hình bình hành này có 90H nên là hình chữ nhật, suy ra 90A . Do đó hình bình hành ABDC là hình chữ nhật. Nhận xét: Dễ thấy, tứ giác ABCD là hình bình hành. Chỉ còn phải chứng minh 90A . Muốn vậy, qua O ta vẽ HK vuông góc với AC và BD. Bây giờ phải chứng minh ABKH là hình chữ nhật để suy ra 90A . Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và một điểm M ở trong đường tròn MO . Qua M vẽ hai dây, dây ABOM và dây CD bất kì không vuông góc với OM. Chứng minh rằng .ABCD Giải
Vẽ .OHCD Xét HOM vuông tại H có OHOM ( cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền). Suy ra CDAB ( dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn). Do đó .ABCD Nhận xét: Trong các dây đi qua một điểm M ở bên trong đường tròn (O), dây ngắn nhất là dây vuông góc với OM. Ví dụ 4. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cách O một khoảng 2 R . Trên đường tròn lấy một điểm A. Tìm giá trị lớn nhất của góc OAM. Giải Vẽ dây AB đi qua M. OAB cân tại O nên  180. 2 AOB AB  A lớn nhất AOB nhỏ nhất. AB nhỏ nhất .ABOM Khi đó 1 sin;. 22A=OMR R OA Suy ra 30.A Vậy 30maxA khi .AMOM Ví dụ 5. Cho đường tròn (O), dây AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai dây AC, BD bằng nhau, cắt nhau tại E. Chứng minh .OEAB Giải Vẽ ;.OHACOKBD Vì ACBD nên .OHOK Ta có ;HOEKOEHOEKOE ;HOAKOBHOAKOB Do đó ;AOEBOE Xét AOB cân tại O, có OE là đường phân giác nên OE đồng thời là đường cao. Suy ra .OEAB C. Bài tập vận dụng  Đường kính và dây cung 7.1. Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm của mỗi dây. 7.2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho .OMON Từ M và N vẽ hai tia song song cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng .MCCD 7.3. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và dây CD nằm về một phía của AB (C, D không trùng với A hoặc B). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng CD. Chứng minh rằng: a) H và K nằm ngoài đường tròn (O); b) CHDK 7.4. Cho đường tròn (O; R). Một dây AB chuyển động trong đường tròn sao cho 120.AOB Gọi M là trung điểm của AB. Hỏi điểm M đi động trên đường nào? 7.5. Cho bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn (O; R) theo thứ tự đó. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.  Khoảng cách từ tâm đến dây 7.6. Cho đường tròn (O; 5cm) và hai dây AB, CD song song với nhau, cách nhau 7cm. Biết AB = 6cm, tính diện tích tứ giác có bốn đỉnh là A, B, C, D.
7.7. Cho đường tròn (O; 10cm). Hai dây AB, CD song song với nhau, tâm O cách dây AB là 8cm và cách dây CD là 6cm. Biết dây AB và tâm O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ CD, tính chu vi tứ giác có bốn đỉnh là A, B, C, D. 7.8. Cho đường tròn (O; 5cm) và một điểm P sao cho OP = 3cm. Qua P vẽ một dây có độ dài là một số nguyên. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu dây như vậy?  Dựng hình 7.9. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở bên trong đường tròn . Dựng hình thoi ABCD sao cho B, C, D nằm trên đường tròn (O). 7.10. Cho đường tròn (O; R) và một đoạn thẳng AB < 2R. Hãy dựng dây CD sao cho bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành. 7.11. Cho đường tròn (O; R) và một đoạn thẳng AB sao cho ba điểm A, O, B không thẳng hàng. Qua A và B hãy dựng hai đường thẳng song song cắt đường tròn lần lượt tại C, D, E, F sao cho bốn điểm C, D, E, F là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. 7.12. Cho đường tròn (O) và 100 đường kính. Tại mỗi đường kính viết một trong các số tự nhiên từ 1 đến 99. Chứng minh rằng tồn tại bốn điểm A, B, C, D là các đầu đường kính đã vẽ mà AB = CD và a + b = c + d (a, b, c, d là các số được viết tương ứng tại A, B, C, D). HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 7.1. Giả sử hai dây AB và CD cắt nhau tại trung điểm mỗi dây. Khi đó ;OMABOMCD^^ (tính chất đường kính đi qua trung điểm của một dây). Điều này vô lí vì qua điểm M có hai đường thẳng AB và CD cùng vuông góc với OM . 7.2. Gọi H là trung điểm của CD. Khi đó OH là đường trung bình của hình thang MCND, Suy ra //OHMC .
Ta có OHCD^ (đường kính đi qua trung điểm của một dây). Suy ra MCCD^ . 7.3. a) Ta có //AHBK (vì cùng vuông góc với CD ). Suy ra ·· 180.OAHOBK+=o Do đó · OAH hoặc · OBK có số đo lớn hơn hoặc bằng 90o . Giả sử · OAH90³o . Xét OAHD có góc OAH là góc lớn nhất nên OH là cạnh lớn nhất. Suy ra OHOAR>= . Vậy điểm H nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ OMCD^ ta được ////.OMAHBK Mặt khác, OAOB= nên .MHMK= . Xét OHKD có OM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân. Suy ra .OKOHR=> Do đó điểm K nằm ngoài đường tròn (O). b) Ta có ;MHMKMCMD== (tính chất đường kính vuông góc với dây). Suy ra MHMCMKMD-=- hay .CHDK= 7.4. Ta có MAMB= suy ra OMAB^ . Xét AOBD cân tại O; · 120AOB=o nên µ 30A=o . Xét AOMD vuông tại M có µ 30A=o nên: 11 . 22OMOHR== Vậy điểm M di động trên đường tròn 1 ;. 2ORæö ÷ç ÷ç ÷ç èø 7.5. Gọi E là giao điểm của AC và BD . Vẽ ;.AHBDCKBD^^ Ta có ;.AHAECKCE££ Suy ra .AHCKAECEAC+£+= Diện tích tứ giác ABCD là: 11 .. 22ABDCBDSSSBDAHBDCK=+=+ 11 ().. 22BDAHCKBDAC=+= Ta có AC và BD là các dây cung của đường tròn (;)OR nên 2;2.ACRBDR££ Do đó 21 .2.22. 2SRRR£= Dấu “=” xảy ra khi 2 2 BDR ACR HKE ì=ï ï ïï =Ûí ï ï ººï ïî AC và BD là hai đường kính. Vậy maxS 22.R= 7.6. Vẽ OHAB^ . Đường thẳng OH cắt CD tại K Khi đó OKCD^ (vì //ABCD ) Suy ra 3HAcm= và 1 . 2CKCD= Ta có 222222534OHOAHA=-=-= 4().OHcmÞ= Do đó 743().OKcm=-= Ta có 222225316CKOCOK=-=-=