Title Bài 2_ _Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 1 BÀI 2: TOẠ ĐỘ CỦA VECTO TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian, cho ba trục Ox Oy Oz , , đôi một vuông góc. Gọi i j k , , r r r lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục Ox Oy Oz , , . Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọ̣ độ Oxyz . Nhận xét: a) Điểm O được gọi là gốc tọa độ. Các trục Ox Oy Oz , , được gọi là các trục tọa độ. Các mặt phẳng Oxy Oyz Ozx , ,     đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặtphẳng toạ dộ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz . b) Vì i j k , , r r r là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có 2 2 2 i j k i j j k k i = = = × = × = × = 1 và 0. r r r r r r r r r Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC có OA OB OC , , đôi một vuông góc và có độ dài bằng 1 . Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là O , các điểm A B C , , lần lượt nằm trên các tia Ox Oy Oz , , và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục toạ độ. Lời giải Với O là gốc tọa độ, ta vẽ được các trục Ox Oy Oz , , như Hình 3. Ba vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là i OA j OB k OC = = = , , r r uuur uuur uuur r . II. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ 1. Tọa độ của điểm Ta có định nghĩa sau: Trong không gian Oxyz , cho điểm M . Nếu OM xi yj zk = + + uuuur r r r thì ta gọi bộ ba số  x y z ; ;  là tọa độ của
BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 2 điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz và viết M x y z =  ; ;  hoă̆c M x y z  ; ; ; x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M . Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật OABC O A B C × ¢ ¢ ¢ ¢ có cạnh OA OC OO = 4, 6, 3 = =¢ . Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc tọạ độ O ; các điểm A C O , , ¢ lần lượt nằm trên các tia Ox Oy Oz , , . Xác định toạ độ các điểm A B B , , ¢ . Lời giải Ta có: OA i j k = + + 4 0 0 uuur r r r , suy ra A4;0;0 ; OB OA OC i j k B OB OA OC OO i j k B = + = + + = + + = + 4 6 0 , suy ra 4;6;0 ; 4 6 3 , suy ra 4;6;3   ¢ ¢ + ¢  uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r r r r r 2. Toạ độ của vectơ Ta có định nghĩa sau: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a r . Nếu 1 2 3 a a i a j a k = + + r r r r thì ta gọi bộ ba số a a a 1 2 3 ; ;  là toạ độ của vectơ a r đối với hệ tọa độ Oxyz và viết a a a a =  1 2 3 ; ;  r hoặc a a a a  1 2 3 ; ;  r . Nhận xét: Trong không gian Oxyz , ta có: Toạ độ của điểm M là tọa độ của vectơ OM uuuur , tức là M x y z OM x y z = Û =  ; ; ; ; .    uuuur Điều kiện để hai vectơ bằng nhau: Cho a x y z b x y z =  ; ; , ; ;  =  ¢ ¢ ¢ r r . Khi đó: x x a b y y z z ì = ï = Û = í ï = ¢ ¢ ¢ î r r Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D × ¢ ¢ ¢ ¢ có đinh A trùng với gốc O , các vectơ AB AD AA , , ¢ uuur uuur uuur theo thứ tự cùng hướng với i j k , , r r r và có AB AD = = 8, 6 , AA¢ = 4 . Tìm toạ độ các vectơ AB AC AC , , ¢ uuur uuur uuuur và AM uuuur với M là trung điểm của cạnh C D¢ ¢ .

BÀI GIẢNG TOÁN 12-CTST-PHIÊN BẢN 25-26 4 Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật OABC O A B C . ¢ ¢ ¢ ¢ có cạnh OA OC OO = = = 4, 6, 3 ¢ . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O ; các điểm A C O , , ¢ lần lượt nằm trên các tia Ox Oy Oz , , . Xác định tọa độ các điểm A B B , , ¢ . Lời giải Ta có: OA i j k = + + 4 0 0 uuur r r r g suy ra A4;0;0 OB OA OC i j k = + = + + 4 6 0 uuur uuur uuur r r r g suy ra B4;6;0 OB OA OC OO i j k ¢ ¢ = + + = + + 4 6 3 uuur uuur uuur uuuur r r r g suy ra B¢4;6;3 Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ có đỉnh A trùng với gốc O , các vectơ AB AD AA , , ¢ uuur uuur uuur theo thứ tự cùng hướng với i j k , , r r r và có AB AD = = 8, 6 , AA¢ = 4 . Tìm toạ độ các vectơ AB AC AC , , ¢ uuur uuur uuuur và AM uuuur với M là trung điểm của cạnh C D¢ ¢. Lời giải Để tìm toạ độ của vectơ AB uuur ta cần biểu diễn AB uuur theo ba vectơ i j k , , r r r . Do AB uuur cùng hướng với ir và AB AB i = = = 8 8 uuur r nên AB i = 8 uuur r hay AB i j k = + + 8 0 0 uuur r r r . Tương tự, ta cũng có: AD i j k AA i j k = + + = + + 0 6 0 , 0 0 4 ¢ uuur uuur r r r r r r .